Πέμπτη, 29 Μαρτίου 2012

Η Αποταμίευση

 
Δύο δίδυμες αδελφές έχουν δύο διαφορετικά προγράμματα συνταξιοδοτικής αποταμίευσης. Η Ελπίδα ξεκινά ένα λογαριασμό συνταξιοδότησης στην ηλικία των 20 ετών, όπου καταθέτει 2000 € και στη συνέχεια αποταμιεύει 2000 € με επιτόκιο 7% ετησίως.  Αυτό το κάνει για 10 χρόνια και στη συνέχεια σταματά να καταθέτει κάθε χρόνο τα 2000 € και το ποσό που έχει μείνει τοκίζεται με επιτόκιο 7% το χρόνο.  Η άλλη αδελφή, η Σοφία, στα 20 της δεν είχε χρήματα και ξεκινά το συνταξιοδοτικό της πρόγραμμα στα 30 της. Καταθέτει και αυτή 2000 € και στη συνέχεια αποταμιεύει 2000 € με επιτόκιο 7% ετησίως. Αυτό το κάνει για 35 χρόνια. Ποια από τις δύο αδελφές θα έχει τα περισσότερα χρήματα στην ηλικία των 65 ετών; (Κατ.34/Πρβλ. Νο.503)

Λύση

Λύση του N Lntzs.
Για να έχουμε μια απάντηση στο πρόβλημα αυτό πρέπει να δούμε
χωριστά τις δύο αποταμιεύσεις.
α)Ας ξεκινήσουμε με την Σοφία.
Αυτή κάνει ίσες (ετήσιες) καταθέσεις των 2000€ και για 35
χρόνια με επιτόκιο 7%
Αν εφαρμόσουμε τον τύπο των ίσων καταθέσεων
Σ=α(1+τ)[(1+τ)^ν-1]/τ
Όπου:
Σ: το συνολικό ποσό ύστερα από ν χρόνια,
α: η ετήσια κατάθεση
τ: Ο τόκος του ενός € και
ν: τα έτη των καταθέσεων,
έχουμε :
Σ=2000*1,07*(1,07^35-1)/0,07=295.826,9197
Η Σοφία λοιπόν θα λάβει 295.826,92€

β)Για την Ελπίδα εφαρμόζουμε αρχικά τον τύπο των ίσων
καταθέσεων με τις ίδιες προϋποθέσεις, αλλά για 10 έτη και
στην συνέχεια τον τύπο του ανατοκισμού που είναι
Σ=α(1+τ)^ν και για 35
και έτσι θα έχουμε:
Σ=[2000*1,07*(1,07^10-1)/0,07]* (1,07)^35 =315.676,6055
Η Ελπίδα λοιπόν θα λάβει 315.676,60€
Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η Ελπίδα θα έχει τα
περισσότερα χρήματα.

2 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Για να έχουμε μια απάντηση στο πρόβλημα αυτό πρέπει να δούμε χωριστά τις δύο αποταμιεύσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την Σοφία.
Αυτή κάνει ίσες (ετήσιες) καταθέσεις των 2000€ και για 35 χρόνια με επιτόκιο 7%
Αν εφαρμόσουμε τον τύπο των ίσων καταθέσεων
Σ=α(1+τ)[(1+τ)^ν-1]/τ
Όπου
Σ: το συνολικό ποσό ύστερα από ν χρόνια,
α: η ετήσια κατάθεση
τ: Ο τόκος του ενός € και
ν: τα έτη των καταθέσεων,
έχουμε :
Σ=2000*1,07*(1,07^35-1)/0,07=295.826,9197
Η Σοφία λοιπόν θα λάβει 295.826,92€

Για την Ελπίδα εφαρμόζουμε αρχικά τον τύπο των ίσων καταθέσεων με τις ίδιες προϋποθέσεις, αλλά για 10 έτη και στην συνέχεια τον τύπο του ανατοκισμού που είναι
Σ=α(1+τ)^ν και για 35
και έτσι θα έχουμε:
Σ=[2000*1,07*(1,07^10-1)/0,07]* (1,07)^35 =315.676,6055
Η Ελπίδα λοιπόν θα λάβει 315.676,60€
Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η Ελπίδα θα έχει τα περισσότερα χρήματα.
Ν.Lntzs

Ανώνυμος είπε...

Αν δεν κάνω λάθος ο τύπος των ετήσιων καταθέσεων προκύπτει από γεωμετρική πρόοδος

Για την Ελπίδα έχουμε:

Κατάθεση 2000 και στη συνέχεια άλλες 2000 και αυτό συμβαίνει κάθε χρόνο για 1ο χρόνια με επιτόκιο

Άρα η γεωμετρική πρόοδος

2000+2000(1+0,07)^10+2000(1+0,07)^9+2000(1+0,07)^8+....+2000(1+0,07)=
2000*1,07*(1,07^10-1)/0,07=Α

με λ=2000(1+0,07) όρο προόδου

Άρα αυτό το ποσό για τα υπόλοιπα(δηλαδή τα 35 μέχρι να φτάσει τα 65)

Το τοκίζει ετησίως με 7%

Άρα το ποσό ισούται με Α*(1+0,07)^35=315.676,60 ευρώ

Για την Σοφία παρομοίως όπως τα λέει ο κ. Νίκος

Απλά αυτή τη διευκρίνηση για τους τύπους ήθελα να κάνω

batman 1986

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes