Κυριακή, 25 Μαρτίου 2012

Το Λάθος

 Ένας συνταξιούχος πήγε στην τράπεζα, για να πάρει την επιστροφή φόρου, η οποία ήταν Χ ευρώ και Ψ λεπτά. Ο ταμίας της τράπεζας έκανε λάθος και του έδωσε Ψ ευρώ και Χ λεπτά. Ο συνταξιούχος, χωρίς να καταλάβει τίποτα, έφυγε και βγαίνοντας έξω πήρε μια φιάλη νερό, αξίας 50 λεπτών. Όταν πήγε στο σπίτι του, μέτρησε τα λεφτά και διαπίστωσε ότι είχε διπλάσιο ποσό από όσο έπρεπε να πάρει. Πόση ήταν η επιστροφή φόρου του συνταξιούχου?(Κατ.34/Πρβλ. Νο.501)
Διευκρίνιση:
Ο συνταξιούχος πριν πάει στην τράπεζα δεν είχε χρήματα πάνω του.
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/05/blog-post_5509.html

Λύση

Η επιστροφή του φόρου ήταν 16,33€. Έστω «χ» ευρώ και «ψ» λεπτά.
Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Ο συνταξιούχος έπρεπε να πάρει 100χ+ψ ευρώ ενώ ο ταμίας του έδωσε
κατά λάθος 100ψ+χ ευρώ. Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε:
50+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
50+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 50+200χ+2ψ=100ψ+χ --> 200χ-χ=100ψ-2ψ-50 -->
199χ=98ψ-50 --> χ=(98ψ-50)/199 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την
διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "ψ" τις τιμές από το
1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη
συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "χ" είναι ο αριθμός 33
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «ψ» στη (2) κι’ έχουμε:
χ=(98ψ-50)/199 --> χ=[(98*33)-50]/199 --> χ=3.234-50/199 -->
χ=3.184/199 --> χ=16 (3)
Επαλήθευση:
Λανθασμένη επιστροφή φόρου από το ταμία: 33,16€
Πραγματική επιστροφή φόρου: 16,33€
Διαφορά:
33,16€-16,33€=16,83€ (16,33€+0,50€)
Χρησιμοποίησε 0,50€ για αγορά μιας φιάλης νερού, οπότε έμειναν:
33,16-0,50=32,66€
που αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει.
(16,33€*2)
50+2*(100χ+ψ)=100ψ+χ --> 50+2*(100*16+33)=100*33+16 -->
50+2*(1.600+33)=3.300+16 --> 50+3.200+66=3.300+16 -->
3.316=3.316 ο.ε.δ.

2 σχόλια:

batman1986 είπε...

Το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι ίδιας λογικής με αυτό που έβαλες με το ποτιστήρι
Μάλιστα τις προάλλες είχα συναντήσει και άλλο ένα πρόβλημα παρόμοιας λογικής και απ ότι έιδα λυνοταν με απλοποιήσεις της διοφαντικής εξίσωσης που σχηματίζεται από τα δεδομένα(άρα δεν χρειάζονται διερευνήσεις με εξελ)


έχουμε 2(χ*100+ψ)=100*ψ+χ-50

Μετατρέπουμε τα πάντα σε λεπτά δηλαδή επί 100

Οι περιορισμοί είναι οι εξής:

Ψάχνουμε ακέραιους χ, ψ

0<=χ<=99
0<=ψ<=99

Αυτο διότι ο χ και ψ σε μία από τις 2 περιπτώσεις καταλαμβάνει το 2ο μέρος της φράσης"...και χ ή ψ λεπτά"

Άμα ήταν 100 λεπτά και πάνω προφανώς θα εκφραζόταν σε ευρώ άρα είναι αναγκαστικά 2ψήφιοι

Η απλοπίηση της εξίσωσης γίνεται ως εξής

100*(2χ-ψ)=χ-2ψ-50

Όμως ο 2χ-ψ=λ όπου λ ακέραιος λόγω γραμμικού συνδυασμού ακέραιων χ,ψ

Άρα χ-2ψ-50=100*λ(1)

Θα φτιάξουμε το εύρος τιμών της εξίσωσης με τη χρήση των ανισωτήτων

-248<=χ-2ψ-50<=49

Όμως λόγω (1)

-248<=100*λ<=49
-2,48<=λ<=0,49

Επειδή λ ακέραιος τότε δοκιμάζουμε τις τιμές για λ=0,-1 ή -2

Για λ=0

Άρα 2χ-ψ=0
χ-2ψ-50=0

Προκύπτει χ αρνητικό άρα απορρίπτεται

Για λ=-1
2χ-ψ=-1
χ-2ψ-50==-100

Άρα λύνοντας στο σύστημα χ=16 κια ψ=33

Η λύση μας κάνει

Για λ=-2 το σύστημα δεν δίνει ακέραιες λύσεις άρα

η επιστροφή του συνταξιούχου ήταν 33 ευρώ και 16 λεπτά

Σου στέλνω και τη 2η λύση με εξέλ




Λύνουμε το σύστημα και η λύση

Papaveri είπε...

@batman1986
Μπράβο! Η απάντησή σου είναι σωστή.
Στο τέλος εγραψες αντίστροφα τα ποσά.
Είναι χ=16 και ψ=33, δηλαδή 16,33€

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes