Κυριακή, 19 Ιουνίου 2016

Οι Τρεις Παρτίδες

Τρεις παίκτες παίζουν τρεις παρτίδες.
Στη πρώτη παρτίδα ό πρώτος χάνει, τόσα χρήματα, ώστε διπλασιάζει τα χρήματα των δύο άλλων.
Στη δεύτερη παρτίδα ο δεύτερος χάνει τόσα χρήματα, ώστε διπλασιάζει τα χρήματα των δύο άλλων.
Τέλος στη τρίτη παρτίδα ο τρίτος χάνει τόσα χρήματα, ώστε διπλασιάζει τα χρήματα των\ δύο άλλων.
 Στο τέλος του παιχνιδιού ο καθ’ ένας είχε 1.000 δρχ. Να βρείτε πόσα χρήματα
είχε ο καθ’ ένας πριν την έναρξη των παρτίδων. (Κατ.34)
Πηγή:Σχολή Ικάρων 1947

Λύση

Λύση του μαθηματικού Γεωργίου Βούλγαρη.
Έστω ότι ο παίκτης «Α» είχε αρχικά «α» χρήματα, ο παίκτης «Β» είχε αρχικά «β» χρήματα και ο παίκτης «Γ» είχε αρχικά «γ» χρήματα.
Προφανώς ισχύει:
α+β+γ=3.000 (1)
Επειδή στην 3η παρτίδα οι παίκτες «Α» και «Β» διπλασίασαν τα χρήματα τους και ο καθ’ ένας είχε από 1.000δρχ., πριν την 3η παρτίδα είχαν από 500δρχ. ο καθ’ ένας.Άρα ο παίκτης «Γ» έχασε στην 3η παρτίδα: 500+500=1.000δρχ. Και αφού του έμειναν και 1.000δρχ. ακόμα, σημαίνει ότι πριν την 3η παρτίδα είχε 2.000δρχ. Στο ποσό αυτό ο «Γ» έφτασε διπλασιάζοντας το αρχικό ποσό δυο φορές, οπότε αρχικά ξεκίνησε με 500δρχ. Δηλαδή (γ=500). Ο παίκτης «Α», τώρα, μετά την πρώτη παρτίδα διπλασίασε δυο φορές τα χρήματα του και έφτασε τις 1.000δρχ. Άρα μετά την πρώτη παρτίδα του είχαν απομείνει 250δρχ. Δηλαδή από το αρχικό ποσό, αφαιρούμε τα ποσά των χρημάτων «β» και «γ» (αυτά που έχασε) και προκύπτουν 250δρχ.Δηλαδη:
α-(β+γ)=1.000-(250+500)=1.000-750=250 (2)
Προσθέσουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
α+β+γ=3.000
α-β-γ=250
2α=3.250 ---> α=3.250/2 ---> α=1.625
Αντικαθιστούμε τις τιμές «α» και «γ» στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=3.000 ---> 1.625+β+500=3.000 ---> β=3.000-1.625-500 ---> β=3.000-2.125---> β= 875
Επαλήθευση:
α+β+γ=3.000 ---> 1.625+875+500=3.000

4 σχόλια:

Nikos Lentzos είπε...

Πρακτικά, ξεκινώντας από το τέλος του παιχνηδιού έχουμε:

Μετά το τέλος της 3ης παρτίδας οι παίκτες βρέθηκαν με:

Α=1.000 δρχ Β=1.000 δρχ. και Γ=1.000 δρχ.


Μετά το τέλος της 2ης παρτίδας οι παίκτες βρέθηκαν με:

Α=500 δρχ Β=500 δρχ. και Γ=2.000 δρχ.


Μετά το τέλος της 1ης παρτίδας οι παίκτες βρέθηκαν με:

Α=250 δρχ Β=1.750 δρχ. και Γ=1.000 δρχ.


Ξεκινώντας λοιπόν το παιχνίδι οι παίκτες είχαν:

Α=1.625 δρχ Β=875 δρχ. και Γ=500 δρχ.




Papaveri είπε...

Nikos Lentzos
Νίκο, συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Ανώνυμος είπε...

Έστω ότι ο παίκτης «Α» είχε αρχικά «α» χρήματα, ο παίκτης «Β» είχε αρχικά «β» χρήματα και ο παίκτης «Γ» είχε αρχικά «γ» χρήματα.
Προφανώς ισχύει:
α+β+γ=3000 <=> α+β=3000-γ (1)
Μετα την 1η παρτιδα οι παικτες εχουν :
Α: α-β-γ
Β: 2β
Γ: 2γ
Μετα την 2η παρτιδα εχουν:
Α: 2α-2β-2γ
Β: 2β-α+β+γ-2γ = 3β-α-γ
Γ: 4γ
Μετα την 3η παρτιδα εχουν:
Α: 4α-4β-4γ=1000 <=> α-β-γ=250 (2)
Β: 6β-2α-2γ=1000 <=> 3β-α-γ=500 (3)
Γ: 4γ-(2α-2β-2γ)-(3β-α-γ)=1000 <=> 7γ-(α+β)=1000 (4)
Απο την εξισωση (4) λογω της (1) εχουμε:
7γ-(3000-γ)=1000 <=> 8γ=4000 <=> γ=500
Αντικαθιστωντας στις (2) και (3) το γ=500 εχουμε:
α-β-500=250 <=> α-β=750
3β-α-500=500 <=> 3β-α=1000
Προσθετουμε κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:
α-β+3β-α=1750 <=> 2β=1750 <=> β=875
οποτε: α-β=750 <=> α-875=750 <=> α=1625
Voulagx

ΥΓ: Κάρλο, πες στον κ.Βούλγαρη Γεώργιο οτι η μπακαλίστικη λύση του είναι αντάξια ενός ταβερνιάρη - και δη Τάρταρου - κι οχι ενος μαθηματικού. :)

Papaveri είπε...

@Voulagx
Τουλάχιστον συμφωνήσατε στο αποτέλεσμα. Αυτό είναι που μετράει. Χε,χεχε!! Περιμένω τη λύση στο πρωτάθλημα.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes