Τετάρτη, 28 Σεπτεμβρίου 2016

Οι Μαθητές

Οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν να παραταχθούν σε σειρές των 3, 4, και 7 μαθητών, χωρίς να περισσεύει κανένας. Αν όμως παραταχθούν σε σειρές των 11μαθητών, χρειάζεται ακόμη ένας μαθητής για να συμπληρωθούν οι σειρές. Πόσοι  είναι οι μαθητές του σχολείου; (Κατ.5)
Πηγή:IΖ΄ Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016  Ε΄ & ΣΤ΄ Δημοτικού

Λύση

Λύση του Γεώργιου Βούλγαρη Μαθηματικού.
Ο αριθμός των μαθητών είναι ένα πολλαπλάσιο των αριθμών 3, 4, και 7 που αν αυξηθεί κατά μια μονάδα γίνεται πολλαπλάσιο του 11.Τα κοινά πολλαπλάσια των αριθμών 3, 4, και 7 είναι: 84,168,252,... Από αυτά, το 252 αν αυξηθεί κατά μια μονάδα θα γίνει 253 τ’ οποίο είναι πολλαπλάσιο του 11.Άρα οι μαθητές είναι 252.
Λύση του Ευθύμη Αλεξίου.
Είναι 3*4*7=84 και αν X ο αριθμός των μαθητών τότε είναι X=84k και αν προσθέσουμε έναν μαθητή τότε 11/(84k+1)
Είναι όμως 84 ≡ 7mod11 ---> 7k+1=πολλ.11
Με μικρότερο k=3: 7k+1=πολλ.11 ---> 3*7+1=22 ---> 22/11=2
αλλά και κάθε k=3+11n
οπότε για k=3 είναι Χ=84*3=252 και το αμέσως μεγαλύτερο πλήθος μαθητών είναι X=84*(3+11*1)=1176 όμως τέτοιο πλήθος μαθητών σε Ελληνικό Σχολείο, θεωρώντας ότι το πρόβλημα αναφέρεται σε Ελληνικό Σχολείο, πόσο μάλλον για μεγαλύτερα πλήθη, δεν υπάρχει. Θεωρούμε σαν μόνη δεκτή και ρεαλιστική λύση το X=252.
Λύση του Συντάκτη.
Οι μαθητές του σχολείου είναι 252. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 3, 4, και 7 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι:
Ε.Κ.Π.(3,4,7)=22*3*7=84
Άρα οι μαθητές είναι 84*3=252
3 σειρές επί 28 μαθητές = 84 μαθητές.
4 σειρές επί 21 μαθητές = 84 μαθητές.
7 σειρές επί 12 μαθητές = 84 μαθητές
Σύνολο: 84*3=252 μαθητές.
Συνεπώς ο (Ν-1) ισούται μ’ ένα πολλαπλάσιο του 84: (Ν-1)=84, (Ν-1)=168, (Ν-1)=252.
Και Ν = (Πολλαπλάσιο +1), δηλαδή Ν=84+1=85, Ν=168+1=169, Ν=252+1=253.
11 σειρές επί 23 μαθητές = 253 μαθητές

2 σχόλια:

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Είναι 3*4*7=84 και αν X ο αριθμός των μαθητών τότε είναι X=84k και αν προσθέσουμε έναν μαθητή τότε 11/(84k+1)
Είναι όμως 84 ≡ 7mod11 → 7k+1=πολλ.11 → με μικρότερο k=3 (3*7+1=22, 22/11=2) αλλά και κάθε k=3+11n
οπότε για k=3 είναι Χ=84*3=252 και το αμέσως μεγαλύτερο πλήθος μαθητών είναι X=84*(3+11*1)=1176 όμως τέτοιο πλήθος μαθητών σε Ελληνικό Σχολείο - θεωρώντας ότι το πρόβλημα αναφέρεται σε Ελληνικό Σχολείο - πόσο μάλλον για μεγαλύτερα πλήθη δεν υπάρχει θεωρούμε σαν μόνη δεκτή και ρεαλιστική λύση το X=252.

Papaveri είπε...

@Ευθύμης Αλεξίου
Ευθύμη συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή, όπως πάντοτε!! Και ό,τι ετοιμαζόμουν σήμερα να δώσω τη λύση και να σταματήσω τις αναρτήσεις, λόγω του ότι έπεσε το ενδιαφέρον για γρίφους.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes