Τρίτη, 12 Φεβρουαρίου 2013

Σύνοδος Πλανητών

Δύο πλανήτες βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τον ήλιο. Στην ανωτέρω εικόνα βλέπουμε ότι οι δύο πλανήτες βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή (συζυγία πλανητών ή σύνοδος πλανητών) με τον ήλιο. Και οι δύο πλανήτες κινούνται δεξιόστροφα, σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού.
Ο εσωτερικός πλανήτης (ο κόκκινος) ολοκληρώνει μια πλήρη τροχιά γύρω από τον ήλιο σε εννέα χρόνια, ενώ ο εξωτερικός πλανήτης (ο γαλάζιος) ολοκληρώνει μια πλήρη τροχιά γύρω από τον ήλιο σε τριάντα τρία χρόνια. Μετά από πόσα χρόνια θα ξαναβρεθούν στην ίδια ευθεία;  (Κατ.5/Νο.68)

Λύση

Όταν θα βρεθούν ξανά στην ίδια θέση, ο κάθε δορυφόρος θα έχει κάνει χρόνο πολλαπλάσιο των ετών που χρειάζεται για μια πλήρη περιφορά. Άρα ΕΚΠ (9, 33) = 3^2*11=99 έτη.

8 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Η λύση δίνεται από το Ε.Κ.Π(9,33)=99.
Σε 99 χρόνια.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Oι δυο πλανήτες Α και Β έχουν γωνιακές ταχύτητες έστω ωΑ και ωΒ αντίστοιχα. Έστω Α ο εσωτερος (κόκκινος) και Β ο εξώτερος(μπλε) . Ισχύει ωΑ>ωΒ (εξ ορισμού γιατί ο Α είναι εσωτερος). Αν θ η γωνία που κάνει ο Β μετά τη 1η σύνοδο μέχρι την επόμενη, η αντιστοιχη για τον Β είναι 2κπ+θ (κ ακέραιος) και έστω t o χρόνος για να διανυσουν αυτά τα τόξα που είναι και ο χρόνος μέχρι την επόμενη σύζευξή τους που ψάχνουμε.
Ισχύει: 2kπ+θ=ωΑ*t
θ=ωΒ*t
Εξισώνοντας έχουμε:
ωΑ*t -2kπ=ωΒ*t, άρα t=2kπ/(ωΑ-ωΒ) (1)
Αλλά εξορισμού ισχύει ωΑ=2κπ/Τα και ωΒ=2κπ/Τβ (όπου Τα=9χρόνια και Τβ=33 χρ.)
Άρα η (1) γίνεται: t= 2kπ/(2κπ/Τα – 2κπ/Τβ)
Ή t=1/((Tβ-Τα)/(Τα-Τβ)) =
Τα*Τβ/(Τα-Τβ) (2)
Άρα από τη (2) έχουμε
t=9*33/(33-9) =12,375 γήινα χρόνια ,ο χρόνος μέχρι την επόμενη σύζευξη.

Σημ. Η σχετική διαφορά στις γωνιακες ταχυτητες και περιόδους παραμενει η ίδια ασχέτως ποιος είναι εσωτερος ή εξωτερος πλανητης ,άρα στην (2) στον παρανομαστή μπορεί να μπει η απόλυτη τιμή Tα-Τβ ή Τβ-Τα , δεν έχει καμία διαφορά/σημασία.

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Γιώργο είμαι σίγουρος ότι κάπου μπερδεύτηκες και επέλεξες να το λύσεις με γεωμετρία, ενώ το σωστό ήταν με το Ε.Κ.Π.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Κάρλο, άλλο Γεωμετρία άλλο στοιχειώδης Αστροφυσική. Βασικά το θέμα είναι γλωσσικό. Υπολόγισα το χρόνο για την ΑΜΕΣΩΣ επόμενη σύζευξη ερμηνεύοντας έτσι το "θα ξαναβρεθούν στην ίδια ευθεία". Δηλαδή σαν "στηνίδια οποιαδήποτε ευθεία κι όχι στη συγκεκριμένη".
Τέλος πάντων, ωραίο πρόβλημα όπως και νάχει..

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

99/12,375 =8 (η όγδοη διαδοχική σύζευξη, παρεμπιπτόντως)

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Αναφέρθηκα στη γεωμετρία λόγω του ότι χρησιμοποίησες τα τόξα των ελλιπτικών τροχιών των πλανητών.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes