Παρασκευή, 8 Φεβρουαρίου 2013

Οι Αριθμοί

Να βρεθούν τρεις αριθμούς ώστε το τετράγωνο οποιουδήποτε από αυτούςεάν προστεθεί στον επόμενο, να μας δίνει ένα τετράγωνο. (Κατ.1/Νο.137 )
Πηγή:
Από την μετάφραση «Τα «Αριθμητικά του Διόφαντου» του  1963 στα Νέα
Ελληνικά  από τον Ε. Σταμάτη, πρόβλημα Νο.32 του 2ου βιβλίου.
Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/02/blog-post_7.html#more

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Εφόσον το πρόβλημα είναι του Διόφαντου όπως μου έγραψες στο e-mail τότε θα πρέπει να το δούμε από την σκοπιά του Διόφαντου και δοθέντος ότι στην εποχή του δεν ήταν γνωστοί οι αρνητικοί ούτε και το μηδέν, παρά μόνο θετικοί θα πρέπει να δούμε διαφορετικές λύσεις πχ στο σύνολο των ρητών θετικών. Έστω x ο πρώτος ,θέτω 2x+1 τον δεύτερο, ώστε το τετράγωνο του πρώτου και ο δεύτερος που δίνουν άθροισμα χ^2+2x+1=(χ+1)^2 να προκύπτει σίγουρα τετράγωνο. Με την ίδια λογική θέτω τον τρίτο 2(2χ+1)+1(=4χ+3) έτσι ώστε το τετράγωνο του δεύτερου συν τον τρίτο να είναι σίγουρα τετράγωνο. Δηλ. (χ+1)^2 + 2(2χ+1)+1=((χ+1)^2 +1)^2 Ετσι πληρούνται οι δυο συνθήκες. Τώρα θα πρέπει ο τρίτος στο τετράγωνο σύν τον πρώτο δηλ. (4χ+3)^2+x=τετράγωνο ρητού. Το πρόβλημα είναι ποιόν ρητό θα υψώσω στο τετράγωνο. Επιλέγω τέτοιον ώστε υψούμενος στο τετράγωνο να έχει όρο τον 16χ^2 ωστε η εξίσωση που θα προκύψει να μην είναι δευτεροβάθμια και δίδει άρρητες ρίζες 'Ενας τέτοιος και όχι μοναδικός είναι ο 16(χ-1)^2 και η τελική εξίσωση γράφεται: (4χ+3)^2+x=16(χ-1)^2 ή 57x= 7 και χ=7/57 που είναι ο πρώτος αριθμός Ο δεύτερος είναι 2*7/57+1=71/57 και ο τρίτος 2*71/57+1=199/57. Οι τρεις αριθμοί ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος (7/57)^2+71/57=(64/57)^2 (71/57)^2+199/57=(128/57)^2 (199/57)^2+7/57=(200/57)^2 Λύση του Διόφαντου. Ο Διόφαντος προτείνει μια λύση για το παραπάνω πρόβλημα που φανερώνει ότι υπήρξε μοναδικός αλγοριθμιστής!! Προτείνει το εξής : «Έστω x ο πρώτος ,2x+1 ο δεύτερος και 2(2x+1)+1 ή , ισοδύναμα ,4x+3 ο τρίτος , έτσι ώστε να πληρούνται οι δυο συνθήκες .Η τελευταία συνθήκη δίνει (4χ+3)2+x=τετράγωνο και έστω τετράγωνο=(4χ+4)2.Τοτε χ=7/57 ,και οι αριθμοί είναι 7/57,71/57,199/57» Τι εννοεί ο ποιητής; Τον πρώτο αριθμό τον ονόμασε x .Τον δεύτερο αριθμό θα μπορούσε να τον ονομάσει με πολλούς τρόπους ,αλλά αποφάσισε να τον ονομάσει 2x+1 επειδή γνώριζε ότι x2+2x+1=(x+1)2, και συνεπώς είχε ήδη ικανοποιηθεί η πρώτη συνθήκη. Στην συνέχεια , τον τρίτο αριθμό θα μπορούσε να τον ονομάσει όπως ήθελε , αλλά επέλεξε να τον ονομάσει 2(2x+1)+1 δηλαδή 4x+3, επειδή ήξερε ότι (2x+1)2+2(2x+1)+1=(2x+2)2, και συνεπώς ικανοποιείται και η δεύτερη συνθήκη. Του έμενε μόνο να ικανοποιήσει την τρίτη συνθήκη, δηλαδή η παράσταση (4x+3)2+x να ισούται με ένα τέλειο τετράγωνο. Εδώ ο Διόφαντος προσθέτει την τελευταία πινελιά καθώς σκέφτηκε ότι αυτό το τετράγωνο θα μπορούσε να είναι της μορφής (4x-4) , επειδή έτσι θα μπορούσε να λύσει εύκολα το πρόβλημα με την επίλυση μιας απλής πρωτοβάθμιας εξίσωσης (4x+3)2+x=(4x-4)2 ή 16x2+24x+9+x=16x2 -32x+16 ή 24x+9+x= -32x+16 ή 24x+32x+x= 16 -9 ή 57x= 7 ή x=7/57 Που είναι η τιμή του πρώτου αριθμού που αναζητούσαμε .Εύκολα με αντικατάσταση βρίσκουμε τους άλλους δυο αριθμούς : 2x+1= 2(7/57)+1=71/57 4x+3=4(7/57)+3=199/57 Πραγματικά οι τρεις αριθμοί ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος (7/57)2+71/57=(64/57)2 (71/57)2+199/57=(128/57)2 (199/57)2+7/57=(200/57)2 Προφανώς και δεν είναι η μοναδική τριάδα λύσεων αν έθετε σαν τρίτο αριθμό το 4x-5 ή το 4x-6 θα μπορούσε να βρει και άλλες λύσεις.

7 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Δύο ερωτήσεις
α) Όταν λέτε “ώστε το τετράγωνο οποιουδήποτε από αυτούς, εάν προστεθεί στον επόμενο”, εννοείτε στον επόμενο από αυτούς τους τρείς? Δηλαδή αν α,β,γ οι τρεις αριθμοί θέλουμε να ισχύει
α^2+β=τετράγωνο και β^2+γ=τετράγωνο ?
β) Αν είναι έτσι στον γ ποιόν θα θεωρήσουμε επόμενο, τον α?
Ενδιαφέρων μαθηματικός γρίφος!

Nikos Lentzos είπε...

Ερωτήσεις – Διευκρινήσεις
α) Οι τρεις αριθμοί είναι φυσικοί;
β) Όταν αναφέρεται «…προστεθεί στον επόμενο…» να λάβουμε τον επόμενο φυσικό; ή τον επόμενο από τους τρεις αριθμούς.
γ) Αν εννοούμε τον επόμενο από τους τρεις, τότε πως γίνεται η διάταξη (αύξουσα τάξη μήπως), και ποιός είναι ο επόμενος του τρίτου και τελευταίου;
δ) Μήπως είναι τοποθετημένοι σε κύκλο και ο επόμενος του τελευταίου είναι ο πρώτος;
Μέχρι να δοθούν απαντήσεις στα ερωτήματα που θέτω θα δώσω μια απάντηση θεωρώντας τους τρεις αριθμούς φυσικούς και επόμενο του τρίτου τον πρώτο, τοποθετώντας τους δηλαδή πάνω σε κύκλο.
Οι αριθμοί με βάση τα παραπάνω είναι οι: -1, 0, 1
Πράγματι :
(-1)^2 + 0 =1=1^2
(0)^2 +1=1=1^2
(1)^2 +(-1) =0=0^2
Aυτά και επανέρχομαι.

Papaveri είπε...

@Nikos Lentzos
Νίκο σου στέλνω e-mail για τις ερωτήσεις σου. Η πηγή όπου το βρήκα δεν αναφέρει τίποτα από αυτά που γράφεις, αλλά θα συμφωνήσω μαζί σου στο (δ).
β) Όταν αναφέρεται «…προστεθεί στον επόμενο…» να λάβουμε τον επόμενο από τους τρεις αριθμούς.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Σύμπτωση ερωτημάτων!
Θεώρησα σωστότερο να πάρω απάντηση στα ερωτήματα μου και μετά να στείλω την την λύση που είχα καταλήξει εφόσον η απάντηση ήταν καταφατική.
Η λύση που είχα καταλήξει ήταν (καθόλου συμπτωματικά) οι αριθμοί
-1, 0, 1

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Σε σχήμα κύκλου.
Ο πρώτος στο δεύτερο.
Ο δεύτερος στο τρίτο.
Ο τρίτος στο πρώτο.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Άρα δεν χρειάζεται να επανεξετάσω το πρόβλημα και μια λύση τουλάχιστον είναι η αρχική
-1,0,1
(-1)^2+0=1+0=1=1^2
0^2+1=0+1=1=1^2
1^2+(-1)=1-1=0=0^2

Nikos Lentzos είπε...

Εφόσον το πρόβλημα είναι του Διόφαντου όπως μου έγραψες στο e-mail τότε θα πρέπει να το δούμε από την σκοπιά του Διόφαντου και δοθέντος ότι στην εποχή του δεν ήταν γνωστοί οι αρνητικοί ούτε και το μηδέν, παρά μόνο θετικοί θα πρέπει να δούμε διαφορετικές λύσεις
πχ στο σύνολο των ρητών θετικών.

Έστω x ο πρώτος ,θέτω 2x+1 τον δεύτερο, ώστε το τετράγωνο του πρώτου και ο δεύτερος που δίνουν άθροισμα χ^2+2x+1=(χ+1)^2 να προκύπτει σίγουρα τετράγωνο.

Με την ίδια λογική θέτω τον τρίτο 2(2χ+1)+1(=4χ+3) έτσι ώστε το τετράγωνο του δεύτερου συν τον τρίτο να είναι σίγουρα τετράγωνο.
Δηλ. (χ+1)^2 + 2(2χ+1)+1=((χ+1)^2 +1)^2
Ετσι πληρούνται οι δυο συνθήκες.

Τώρα θα πρέπει ο τρίτος στο τετράγωνο σύν τον πρώτο δηλ. (4χ+3)^2+x=τετράγωνο ρητού.

Το πρόβλημα είναι ποιόν ρητό θα υψώσω στο τετράγωνο.
Επιλέγω τέτοιον ώστε υψούμενος στο τετράγωνο να έχει όρο τον 16χ^2 ωστε η εξίσωση που θα προκύψει να μην είναι δευτεροβάθμια και δίδει άρρητες ρίζες
'Ενας τέτοιος και όχι μοναδικός είναι ο 16(χ-1)^2 και η τελική εξίσωση γράφεται:
(4χ+3)^2+x=16(χ-1)^2 ή
57x= 7
και χ=7/57
που είναι ο πρώτος αριθμός
Ο δεύτερος είναι 2*7/57+1=71/57
και ο τρίτος 2*71/57+1=199/57.

Οι τρεις αριθμοί ικανοποιούν τις συνθήκες του προβλήματος

(7/57)^2+71/57=(64/57)^2

(71/57)^2+199/57=(128/57)^2

(199/57)^2+7/57=(200/57)^2

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes