Τρίτη, 19 Φεβρουαρίου 2013

Ο Αριθμός

Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός Α, που αν το πρώτο του ψηφίο το βάλουμε στο τέλος, τότε ο νέος αριθμός Β που θα σχηματιστεί θα ισούται με μιάμιση φορές τον Α; (Κατ.1/Νο.141)

Λύση

Για τη λύση, βλέπε στα σχόλια Γ. Ριζόπουλος.

4 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Eίχαμε ξαναλύσει το ανάλογο αλλά αντίστροφα,(δηλ. το τελ. ψηφίο στην αρχή).Η μέθοδος "Λέντζου" ήταν εξαίρετη και "αυστηρή" μαθηματικώς, αλλά την αφήνω στον μπακάλη, καθότι εγώ μάλλον θα μπλέξω τον μαϊντανό με τον άνιθο.. :-)
Aκολουθώ λοιπόν την τοτινή λογική μου ,απλώς υπενθυμίζω το:
"Η λύση τελικά έρχεται από τις ιδιότητες των πρώτων και τα ανάγωγα κλάσματα που δίνουν περιόδους επαναλαμβανόμενων αριθμών (recurring fractions) με παρανομαστή πρώτο αριθμό. Αν υπάρχει κλάσμα τέτοιο πρέπει τα επαναλαμβανόμενα ψηφία να είναι σε αριθμό κατά ένα λιγότερα του πρώτου του κλάσματος. (και ως εκ τούτου θα είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους και κάθε επαναλαμβανόμενο ψηφίο θα εμφανίζεται, μετά την υποδιαστολή ,μία μόνο φορά για ν/p όπου p > ν > 0 και p=prime (πρώτος), ν φυσικός>0)"

Aφού θέλουμε (ν+1)/ν =1,5 σημαίνει ότι αναζητούμε τα διατεταγμενα ζευγη ψηφίων που αντιστοιχούν σε ν=άρτιο (περιττόςΧ 1,5 δεν δίνει ακέραιο)
Αν έχω κάνει σωστή διερεύνηση (κρατώ μια επιφύλαξη λόγω πίεσης χρόνου) ξεκινώντας πάντα από το πρώτο κλάσμα το 1/7, ο πρώτος πρώτος κ που μας κάνει(δίνει αλυσίδα κ-1 ψηφίων) είναι το 17.
Το 1/17 έχει περίοδο 0588235294117647
Βλέπουμε ότι όλες οι ζυγές θέσεις < 1,5*17=11,33, δηλαδή οι:2,4,6,8,10για το ν ,πληρούν τη συνθήκη που ψάχνουμε και μας δινουν αντιστοιχους αριθμούς:
O μικρότερος είναι προφανώς το ζεύγος ν(2,3) που αντιστοιχεί στα 11,17 άρα ο αριθμός είναι ο
1176470588235294
Πράγματι: 1176470588235294/1764705882352941=2/3
Σημ. Παραθέτω την αύξουσα σειρά για τα 16 πιθανά διατεταγμένα ζεύγη ,δίπλα στο ν, σε παρένθεση τα ψηφία
05 - 1 (1)
11 - 2 (11)
17 - 3 (12)
23 - 4 (5)
29 - 5 (8)
35 - 6 (6)
41 - 7 (10)
47 - 8 (15)
52 - 9 (7)
58 - 10 (2)
64 - 11 (14)
70 - 12 (16)
76 - 13 (13)
82 - 14 (4)
88 - 15 (3)
94 - 16 (9)

Βλέπουμε ότι το 4-6 που αντιστοιχεί στα ψηφία (5,6)=23-33 δίνει τον επόμενο αριθμό
2352941176470588
κλπ..

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Πολύ σωστή και τεκμηριωμένη η λύση σου.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Η δική μου λύση τι έγινε?
Την ξαναστέλνω!
Α=α χ και Β=χα (α το ψηφίο που μετακινείται και χ αριθμός με τα ψηφία που δεν αλάζουν θέση)
1,5*αχ=χα => 3*αχ=2*χα
3*(α*10^ν+χ)=20χ+2α =>
3*α*10^ν+3χ=20χ+2α =>
3*α*10^ν-2α= 20χ-3χ =>.
α*(3*10^ν-2)=17χ =>
και το α*( 3*10^ν-2) με το ν άγνωστο
παιρνει την μορφή
α(3*10^ν-2)=α*299...99998=17χ
και για α=1,2,3,...9 ψάχνουμε τις αντίστοιχες τιμές του χ, εφόσον υπάρχουν
στην περίπτωση μας όμως επειδή μας ενδιαφέρει η μικρότερη τιμή του χ,
ξεκινάμε από α=1 συνεπώς
(3*10^ν-2)=
299...99998=17χ και με βάση αυτήν την σχέση βρίσκουμε το χ ως παρακάτω

=1ος ΤΡΟΠΟΣ
................................. ο άγνωστος χ
*17
….............................
….............................
…299.........999998 το γινόμενο

...............................4 ο άγνωστος χ
*17
…............................8
…...........................
…299.........999998 το γινόμενο

...............................4 ο άγνωστος χ
*17
…............................8
…......................... 4
…299.........999998 το γινόμενο


.............................94 ο άγνωστος χ
*17
…..........................58
…........................94
…299.........999998 το γινόμενο

και με αυτόν τον τρόπο προχωράμε μέχρι να
μην υπάρχει κρατούμενο από τους πολλαπλασιασμούς και άρα
έχει βρεθεί ο χ
έτσι προχωρώντας καταλήγουμε ως παρακάτω

.176470588235294 (ο άγνωστος χ)
.*17
1235294117647058
176470588235294 +
2999999999999998….......................

άρα ο αριθμός είναι ο 1176470588235294 (ο χ με τον α=1 μπροστά)
και πράγματι 1.5*1176470588235294=1764705882352941

=2ος ΤΡΟΠΟΣ (αντίστροφα με διαίρεση)
Διερεύνηση της εξίσωσης 17χ=(3*10^ν-2) (για α=1)
για ν=1 έχουμε 28=11mod17(απορίπτεται)
για ν=2 έχουμε 298=9mod17(απορίπτεται)
για ν=3 έχουμε 2998=6mod17(απορίπτεται)
για ν=4 έχουμε 29998=10mod17(απορίπτεται)
για ν=5 έχουμε 299998=16mod17(απορίπτεται)
για ν=6 έχουμε 2999998=8mod17(απορίπτεται)
για ν=7 έχουμε 29999998=13mod17(απορίπτεται)
για ν=8 έχουμε 299999998=12mod17(απορίπτεται)
για ν=9 έχουμε 2999999998=2mod17(απορίπτεται)
για ν=10 έχουμε 29999999998=8mod17(απορίπτεται)
για ν=11 έχουμε 299999999998=7mod17(απορίπτεται)
για ν=12 έχουμε 2999999999998=3mod17(απορίπτεται)
για ν=13 έχουμε 29999999999998=14mod17(απορίπτεται)
για ν=14 έχουμε 299999999999998=5mod17(απορίπτεται)
για ν=15 έχουμε 2999999999999998=0mod17(εγκρίνεται)
Συνεπώς 2999999999999998/17=176470588235294
και ο αριθμός είναι ο 1176470588235294

=3ος ΤΡΟΠΟΣ (παραλαγή στην ουσία) πιο γρήγορος και πιο ξεκούραστος
διαιρούμε διαδοχικά τους αριθμούς
28, 298 ,2998,...299....9998 με το 17 μέχρι να προκύψει ακέραιος,
αυτός ο ακέραιος είναι ο ζητούμενος χ

Αντίστοιχα υπάρχουν λύσεις και για α=2,3,4,5,6,7,8,9

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Δεν την έλαβα τη πρώτη λύση σας. Ωραία ανάλυση της λύσης του γρίφου.
Το μόνο δυσνόητο σημείο είναι αυτό με τις τελείες. Εάν μπορείτε να το γράψετε με άλλο τρόπο.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes