Πέμπτη, 14 Φεβρουαρίου 2013

Η Ιπποδρομία

Τέσσερα άλογα παίρνουν μέρος στη διάσημη ιπποδρομία MathsMasters Cup. Υποθέτοντας ότι δεν έχουμε ισοβαθμίες με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να διασχίσουν τη γραμμή του τερματισμού; Τι θα συμβεί στην περίπτωση που θα έχουμε ισοβαθμίες; (Κατ.5/Νο.69)


Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. H περίπτωση χωρίς ισοβαθμίες είναι απλή και γνωστή: 4! =1*2*3*4=24 συνδυασμοί τερματισμών. Αν έχουμε ισοβαθμίες: Τα άλογα μπορεί να τερματίσουν σε ομάδες/μπλοκ των 1, 2, 3, ή 4 αλόγων. Έστω a, b, c, d, τα 4 άλογα Ένα παράδειγμα 3 μπλοκ είναι: (a) (b) (c, d). Αυτό ερμηνεύεται σαν ότι τα άλογα c και d είναι ισόπαλα, και τα άλογα a, b, και (c, d) τερμάτισαν ξεχωριστά (σε διακριτές/διαφορετικές θέσεις: 1 -2- 3(τα ισόπαλα c και d). Τα τρία μπλοκ (a), (b), (c, d) μπορούν να αναδιαταχθούν με 3! = 6 τρόπους. Φανερά, αυτό ισχύει για κάθε διαμερισμό των μπλοκ των τριών. Τα πιθανά διαφορετικά μπλοκ είναι 4. (μπλοκ των 1,2,3 ή 4 ομάδων) 1. (a, b, c, d) Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 1! Συνδυασμοί: 1*1! =1 2. (a) (b, c, d), (b) (a, c, d), (c) (a, b, d), (d) (a, b, c), (a, b) (c, d), (a, c) (b, d), (a, d) (b, c) Διαμερισμοί: 7 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 2! Συνδυασμοί: 7*2! =14 3. (a) (b) (c, d), (a) (c) (b, d), (a) (d) (b, c), (b) (c) (a, d), (b) (d) (a, c), (c) (d) (a, b) Διαμερισμοί: 6 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 3! Συνδυασμοί: 6*3! =36 4. (a) (b) (c) (d) Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 4! Συνδυασμοί: 1*4! =24 Έτσι, ισοβαθμιών συνυπολογιζομένων 4 άλογα μπορούν να τερματίσουν με: 1 + 14 + 36 + 24 = 75 διαφορετικούς τρόπους.

4 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Δεν έχω ιδέα από συνδυαστική, ή σωστότερα γνωρίζω ελάχιστα μέσω ίντερνετ,
πρωτοασχολήθηκα πριν από 2-3 μήνες λόγω ενός προβλήματος συνδυασμών σε
ένα άλλο σάιτ που συμμετέχω, αυτό είναι το δεύτερο πρόβλημα και ένα τρίτο,
αλλά με 7 συμετοχές και ισοβαθμίες, όπου η μέθοδος που έχω παρακάτω γέμισε
2 σελίδες πράξεις και διαβάζοντας την λύση του κ. Ριζόπουλου, μία σειρά μόνο η λύση!,
ένος μόνο μαθηματικός τύπος!, διαπίστωσα ότι τα πράγματα
είναι πολύ, πολύ πιο εύκολα, αρκεί να γνωρίζεις τον τύπο και τους συντελεστές-αριθμούς Μπέλ.
Προς το παρόν έχω μόνο το παρακάτω και θέλω να διαπιστώσω αν είναι σωστή η προσέγγιση μου.

..1η.............2η............3η......... ...4η.......... ΣΥΝΟΛΟ
(4,4)=1..................................................... ......1.
(4,3)=4... .(1,1)=1.....................................4*1=4
(4,2)=6. ...(2,2)=1.....................................6*1=6 ............... .(2,1)=2.....(1,1)........................6*2*1=12
(4,1)=4.... (3,3)=1................................... .4*1 =4
............... .(3,2)=3 . (1,1)=1................... 4*3*1=12
............... .(3,1)=3 . (2,2)=1....................4*3*1=12..=51
............................. ... (2,1)=2.....(1,1)=1...4*3*2*1 =24 ..=75

Έτσι στην περίπτωση που δεν έχουμε ισοβαθμίες θα διασχίσουν την γραμμή
τερματισμού με (4,1)*(3,1)*(2,1)*(1,1)=4!=24 διαφoρετικούς τρόπους
και αν έχουμε και ισοβαθμίες άλλους 51 τρόπους,
σύνολον 51+24=75 διαφορετικοίτρόποι τερματισμού.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Kαλημέρα!

H περίπτωση χωρίς ισοβαθμίες είναι απλή και γνωστή: 4! =1*2*3*4=24 συνδυασμοί τερματισμών.
Αν έχουμε ισοβαθμίες:
Τα άλογα μπορεί να τερματίσουν σε ομάδες/μπλοκ των 1, 2, 3, ή 4 αλόγων. Έστω a, b, c, d, τα 4 άλογα

Ένα παράδειγμα 3 μπλοκ είναι: (a) (b) (c, d). Αυτό ερμηνεύεται σαν ότι τα άλογα c και d είναι ισόπαλα, και τα άλογα a, b, και (c, d) τερμάτισαν ξεχωριστά (σε διακριτές/διαφορετικές θέσεις: 1 -2- 3(τα ισόπαλα c και d).

Τα τρία μπλοκ (a), (b), (c, d) μπορούν να αναδιαταχθούν με 3! = 6 τρόπους. Φανερά ,αυτό ισχύει για κάθε διαμερισμό των μπλοκ των τριών.

Τα πιθανά διαφορετικά μπλοκ είναι
4. (μπλοκ των 1,2,3 ή 4 ομάδων)

1. (a, b, c, d)

Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 1!

Συνδυασμοί: 1*1! =1

2. (a) (b, c, d), (b) (a, c, d), (c) (a, b, d), (d) (a, b, c), (a, b) (c, d), (a, c) (b, d), (a, d) (b, c)

Διαμερισμοί: 7 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 2!

Συνδυασμοί: 7*2! =14

3. (a) (b) (c, d), (a) (c) (b, d), (a) (d) (b, c), (b) (c) (a, d), (b) (d) (a, c), (c) (d) (a, b)


Διαμερισμοί: 6 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 3!

Συνδυασμοί: 6*3! =36

4. (a) (b) (c) (d)


Διαμερισμοί: 1 Αναδιατάξεις ανά διαμερισμό: 4!

Συνδυασμοί: 1*4! =24

Έτσι, ισοβαθμιών συνυπολογιζομένων 4 άλογα μπορούν να τερματίσουν με:

1 + 14 + 36 + 24 = 75 διαφορετικούς τρόπους.

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια και στους δύο. Άρτια, αναλυτική και τεκμηριωμένη απάντηση.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Επειδή χάλασε λίγο στην μεταφορά το ξανά-στέλνω με περισσότερες τελείες.

..1η.............2η............3η......... ...4η.......... ΣΥΝΟΛΟ
(4,4)=1..................................................... ......1....................................................................................
(4,3)=4... .(1,1)=1.....................................4*1=4....................................................................................
(4,2)=6. ...(2,2)=1.....................................6*1=6.................................................................................... ............... .(2,1)=2.....(1,1)........................6*2*1=12..............................................................................
(4,1)=4.... (3,3)=1................................... .4*1 =4 ..................................................................................
............... .(3,2)=3 . (1,1)=1................... 4*3*1=12..............................................................................
............... .(3,1)=3 . (2,2)=1....................4*3*1=12..=51......................................................................
............................. ... (2,1)=2.....(1,1)=1...4*3*2*1 =24 ..=75............................................................

Έτσι στην περίπτωση που δεν έχουμε ισοβαθμίες θα διασχίσουν την γραμμή
τερματισμού με (4,1)*(3,1)*(2,1)*(1,1)=4!=24 διαφερετικούς τρόπους
και αν έχουμε και ισοβαθμίες άλλους 51 τρόπους,
σύνολον 51+24=75 διαφορετικούς τρόπους τερματισμού.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes