Τρίτη, 26 Φεβρουαρίου 2013

Οι Δύο Αριθμοί

Κάποιος σκέφτηκε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς, οι δύο αριθμοί είναι μεγαλύτεροι από το 1 και μικρότεροι από το 21, επίσης το γινόμενο είναι μικρότερο του 200, και λέει το άθροισμα των δύο αριθμών σε έναν μαθηματικό «Α» και το γινόμενο τους σε έναν μαθηματικό «Β». Λίγες ημέρες αργότερα συναντιούνται οι δύο μαθηματικοί και κάνουν τον παρακάτω διάλογο: 
Α: «Δεν υπάρχει κανένας τρόπος για να βρείτε το άθροισμα.»
Β: «Μα, το έχω βρει!» 
Α: «Έ, τότε και εγώ γνωρίζω το γινόμενο.»
Ποιοι είναι οι δύο αυτοί αριθμοί; (Κατ.34/Νο.577) 

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Πολύ ενδιαφέρων και δύσκολος γρίφος! Συνδυάζει λογική επαγωγή και Θεωρία Αριθμών. Νομίζω όμως ότι δεν έχει μοναδική λύση. Επιχειρώ μια προσέγγιση: Το γεγονός ότι ο Μαθ.Α δηλώνει αρχικά πως ο Β δεν μπορεί να ξέρει το άθροισμα(δεδομένου ότι ξέρει το γινόμενο) σημαίνει ότι το άθροισμα πρέπει να είναι περιττός αριθμός. Αν ήταν άρτιος, θα μπορούσε να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο πρώτων (η εικασία του Γκόλντμπαχ,(Christian.Goldbach), και εδώ, αναπόδεικτη μεν ,αλλά ισχύει σίγουρα για τους αριθμούς που εξετάζουμε και για πολύ μεγαλύτερους) κι αν το γινόμενο μπορούσε να παραγοντοποιηθεί σε δύο πρώτους ο Β θα μπορούσε να ξέρει το άθροισμα, γιατί το γινόμενο θα ήταν κατά μοναδικό τρόπο παραγοντοποιήσιμο σε δύο πρώτους. Π.χ αν οι αριθμοί ήταν 3 και 5 ,το γινόμενο 15 αναλύεται μόνο σε 3Χ5. ή π.χ το γινόμενο 65 θα σήμαινε μοναδικό άθροισμα 5 και 13. Επίσης δεν μπορεί ,για τον ίδιο λόγο, ο ένας αριθμός να είναι 2 , ή καλύτερα, το άθροισμα των αριθμών μείον 2 (Σ-2) πρέπει να είναι σύνθετος αριθμός.(μη πρώτος). Άρα το γεγονός ότι ο Β μετά την αρχική δήλωση του Α δηλώνει ότι ξέρει τους αριθμούς, σημαίνει ότι το γινόμενο αποσυντίθεται κατά μοναδικό τρόπο σε 2 αριθμούς με άθροισμα περιττό. Για να συμβαίνει όμως αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο ισούται με μία δύναμη του 2 (εκτός από το ίδιο το 2 ,γιατί όπως προείπα θα ήξερε από την αρχή..) επί έναν πρώτο . Γ=p X (2^n) (Γ=γινόμενο, p=πρώτος) Το γεγονός τώρα ότι μετά ξέρει και ο Α τους αριθμούς, σημαίνει λοιπόν ότι το άθροισμά του Σ είναι μοναδικά παραγοντοποιήσιμο σαν p + 2^n (εκτός από 2) ΚΑΙ επίσης (όπως δείξαμε αρχικά) Σ-2 σύνθετος. Άρα απομένει να δούμε ποια αθροίσματα είναι της μορφής: Σ= Σύνθετος +2 και να ελέγξουμε ποιο γινόμενο παραγοντοποιειται με πρώτο (p) + δύναμη του 2. 1η περίπτωση: 15 (=σύνθετος) +2=17 = 13(πρώτος)+4 , 13*2^2=52 (μοναδ.παράγοντες εντός διαστήματος 4 και 13) .ΟΚ Άρα οι αριθμοί είναι 13 και 4 Το "κακό" είναι ότι και οι αριθμοί 13 και 16 ικανοποιούν τις προϋποθέσεις που θέλουμε.. 13=πρώτος, 16=2^4 και 29=27(σύνθετος)+2 και 29-4=25(σύνθετος) 13 Χ16=208=13 Χ 2^4 Άλλο ζεύγος -λύση δεν υπάρχει στο διάστημα 2-20. ΥΓ:Θα μπορούσε να προστεθεί στην εκφώνηση ας πούμε, "το γινόμενο είναι μικρότερο από 200" οπότε θα υπήρχε μοναδική λύση: 4 ,13

8 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Πολύ ενδιαφέρων και δύσκολος γρίφος! Συνδυάζει λογική επαγωγή και Θεωρία Αριθμών.
Νομίζω όμως ότι δεν έχει μοναδική λύση.

Επιχειρώ μια προσέγγιση:
Το γεγονός ότι ο Μαθ.Α δηλώνει αρχικά πως ο Β δεν μπορεί να ξέρει το άθροισμα(δεδομένου ότι ξέρει το γινόμενο) σημαίνει ότι το άθροισμα πρέπει να είναι περιττός αριθμός. Αν ήταν άρτιος, θα μπορούσε να εκφραστεί σαν άθροισμα δύο πρώτων (η εικασία του Γκόλντμπαχ,αναπόδεικτη μεν ,αλλά ισχύει σίγουρα για τους αριθμούς που εξετάζουμε και για πολύ μεγαλύτερους) κι αν το γινόμενο μπορούσε να παραγοντοποιηθεί σε δύο πρώτους ο Β θα μπορούσε να ξέρει το άθροισμα, γιατί το γινόμενο θα ήταν κατά μοναδικό τρόπο παραγοντοποιήσιμο σε δύο πρώτους. Π.χ αν οι αριθμοί ήταν 3 και 5 ,το γινόμενο 15 αναλύεται μόνο σε 3Χ5. ή π.χ το γινόμενο 65 θα σήμαινε μοναδικό άθροισμα 5 και 13.
Επίσης δεν μπορεί ,για τον ίδιο λόγο, ο ένας αριθμός να είναι 2 , ή καλύτερα, το άθροισμα των αριθμών μείον 2 (Σ-2) πρέπει να είναι σύνθετος αριθμός.(μη πρώτος).
Άρα το γεγονός ότι ο Β μετά την αρχική δήλωση του Α δηλώνει ότι ξέρει τους αριθμούς, σημαίνει ότι το γινόμενο αποσυντίθεται κατά μοναδικό τρόπο σε 2 αριθμούς με άθροισμα περιττό. Για να συμβαίνει όμως αυτό σημαίνει ότι το γινόμενο ισούται με μία δύναμη του 2 (εκτός από το ίδιο το 2 ,γιατί όπως προείπα θα ήξερε από την αρχή..) επί έναν πρώτο . Γ=p X (2^n) (Γ=γινόμενο, p=πρώτος)

Το γεγονός τώρα ότι μετά ξέρει και ο Α τους αριθμούς, σημαίνει λοιπόν ότι το άθροισμά του Σ είναι μοναδικά παραγοντοποιήσιμο σαν p + 2^n (εκτός από 2) ΚΑΙ επίσης (όπως δείξαμε αρχικά) Σ-2 σύνθετος.

Άρα απομένει να δούμε ποια αθροίσματα είναι της μορφής:
Σ= Σύνθετος +2 και να ελέγξουμε ποιο γινόμενο παραγοντοποιειται με πρώτο (p) + δύναμη του 2.

1η περίπτωση: 15 (=σύνθετος) +2=17 = 13(πρώτος)+4 , 13*2^2=52 (μοναδ.παράγοντες εντός διαστήματος 4 και 13) .ΟΚ
Άρα οι αριθμοί είναι 13 και 4
Το "κακό" είναι ότι και οι αριθμοί 13 και 16 ικανοποιούν τις προϋποθέσεις που θέλουμε..
13=πρώτος, 16=2^4 και 29=27(σύνθετος)+2 και 29-4=25(σύνθετος) 13 Χ16=208=13 Χ 2^4

Άλλο ζεύγος -λύση δεν υπάρχει στο διάστημα 2-20.

ΥΓ. Θα μπορούσε να προστεθεί στην εκφώνηση ας πούμε, "το γινόμενο είναι μικρότερο από 200" οπότε θα υπήρχε μοναδική λύση: 4 ,13

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Με κάθε επιφύλαξη γιατίδεν παίζω και στα δάκτυλα την Θεωρία Αριθμών, νομίζω ότι η ανάλυση του κ. Ριζόπουλου δίνει λύση και στον συνδυασμό
Α =11(11-2=9, σύνθετος), Γ = 28 = 2*14 = 4*7 = {(2^2)*7}
Το άθροισμα 2+14=16=ζυγός, άρα απορρίπτεται και μένει το 4 και 7
πού κάνω λάθος?

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Μάλλον την απορία αυτή θα μας τη λύση ο κ. Ριζόπουλος, λόγω του ότι δεν κατέχω το κομμάτι αυτό της θεωρίας των αριθμών. Ας περιμένουμε λοιπόν.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Όντως δύσκολος γρίφος. Δεν μπόρεσα ούτε εγώ να το λύσω. Περιμένουμε μια απάντηση στο ερώτημα του κ. Αλεξίου.
Διότι με προβλημάτισε, εάν όντως ισχύει αυτό που έγραψε.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Υ.Γ Επίσης δεχόμενοι πάλι με βάση την παραπάνω ανάλυση, κάνω αναφορορά στη λύση σας κ. Ριζόπουλε για να μην θεωρηθεί ότι κανω “υποκλοπή”,
λύση του προβήματος είναι και οσυνδυασμός Α=23(23-2=21 σύνθετος) και Γ=112
Γ=112=2*66 (απορρίπτεται για διπλά και άθροισμα ζυγός και 66>20) = 4*33(απορ. 33>20), 8*14(απορ. Άθροισμα ζυγός)=16*7(δεκτό).
Έχω λύση ένα πρόβλημα αθροίσματος-γινομένου αλλά με αριθμούς από 3 έως 100 που όμως έχει άλλη λογική, αυτά που εδώ είναι παραδοχές εκεί αποκλείονται λόγω της απουσίας του 2 και οδηγούσε μόνο σε μία λύση μέσα από δεκάδες, να μην πώ εκατοντάδες δαιδαλώδεις συνδυασμούς, απίστευτα δύσκολος γρίφος (στον ΠΑΝΤΣΙΚ, όπου έχω δεί το όνομα σας) Με απασχόλησε 2 μήνες τουλάχιστον.
Για να πώ την πλήρη αλήθεια αυτόν τον γρίφο τον έλυσα με τον ίδιο σχεδόν τρόπο με τον κ. Ριζόπουλο αλλά λόγω των πολλαπλών απαντήσεων, κλονίσθηκα για την ορθότητα της λύσης.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Απαντάω στον.. εαυτό μου και σε σας κ. Κάρλο
Το 11 αποκλείεται γιατί έχει 2 αναπαραστάσεις του τύπου 2^ν +p τους 7+2^2 =3+2^3
επίσης για τον ίδιο λόγο αποκλείεται και το 23 = 7+16(=2^4) 19+4(=2^2)
έτσι μένουν μόνο τα Α=17, Γ=52 και Α=29, Γ=208 πού έχουν μόνο μία αναπαράσταση του τύπου
52=26*2(απορ) =13*4(δεκτό)
208=2*104(απορ),=4*52(απορ)=8*26(απορ)=16*13(δεκτό)

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Ξανακοίταξα το πρόβλημα. Όσα γράφω στο πρώτο μου σχόλιο ισχύουν στο ακέραιο, σαν επαγωγική λογική, αλλά τελικά το πρόβλημα είναι λάθος διατυπωμένο. Ο περιορισμός για το Γ<200 ΠΡΕΠΕΙ να υπάρχει, γιατί αλλιώς οι Μαθηματικοί δεν μπορεί να είχαν προβεί στις κατηγορηματικές δηλώσεις. Δεν γίνεται δηλαδή η λύση να είναι διπλή. Πρέπει να είναι μοναδική, δηλαδή το 4 και 13.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Συμφωνώ κ. Ριζόπουλε ότι “ισχύουν στο ακέραιο, σαν επαγωγική λογική “, μάλιστα συμφώνησα στο σχόλιο μου στις 1:58 μμ όπου εξηγώ που είχα κάνει λάθος για τις περιπτώσεις
Α=11, Γ=28 και Α=23, Γ=112, όπου αναίρεσα την την προηγούμενη ένσταση μου.
Ξανά-κοιτάζοντας και ο ίδιος το πρόβλημα κατέληξα και εγώ ότι για να έχει μοναδική λύση
το πρόβλημα χρειάζεται έναν περιορισμό που να αποκλείει την μία από τις δύο λύσεις
όπως αυτόν που λέτε γινόμενο <200, σίγουρα μικρότερο του 208 (φεύγει το 29,208) ή γινόμενο μεγαλύτερο του 52 (φεύγει το Α=17,Γ=52 που κυκλοφορεί ευρέως από ότι είδα στο διαδίκτυο), ή ενδεχομένως κάποιον άλλον που να αποκλείει πάντως την μία από τις 2 λύσεις.
Πρέπει να μπει ο περιορισμός όχι όμως γιατί οι Μαθηματικοί δεν θα είχαν προβεί σε κατηγορηματικές δηλώσεις, οι μαθηματικοί έχοντας ο ένας Α=17 και ο άλλος Γ=52 ή ο ένας Α=29 και ο άλλος Γ=208 και επειδή τα γνωρίζουν οι ίδιοι είτε στην μία είτε στην άλλη περίπτωση θα βρουν ο Β το άθροισμα του Α και στην συνέχεια ο Α το γινόμενο του Β
και θα κάνουν τις δηλώσεις που έκαναν. Εμείς δεν μπορούμε να βρούμε τους αριθμούς και θα το παίξουμε κορώνα-γράμματα, 50%-50%.
Λεπτομέρεια που δεν αλλάζει σε τίποτα την πολύ ωραία, γενικευμένη και ιδιαίτερα κατανοητή ανάλυση που κάνατε.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes