Τ' Αυγά

Σ’ ένα καλάθι υπάρχει μια ποσότητα αυγών. Εάν πάρουμε ανά: 2, 3, 4, 5, και 6 αυγά κάθε φορά, τότε μένουν, αντίστοιχα: 1, 2, 3, 4, και  5 αυγά στο καλάθι. Όταν, όμως, πάρουμε ανά 7 αυγά δεν μένει κανένα. Πόσα αυγά υπάρχουν στο καλάθι, ώστε να ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος, εάν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός τους είναι μικρότερος του 200; (Κατ.5/Νο.67) 

Brahmagupta, (598–668 ),7oς μ.Χ αιώνας 

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_3285.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Όπως ξαναείχαμε πει/αποδείξει σε κάποιο παλιότερο πρόβλημα ο μικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την συνθήκη να αφήνει υπόλοιπο νi-1 όταν διαιρειται με τον αριθμό νi , είναι το Ε.Κ.Π των νi μείον 1. Ε.Κ.Π (2,3,4,5,6)=60 Άρα το 59 διαιρεί τους 2,3,4,5,6 αφήνωντας υπόλοιπο 1,2,3,4,5 αντίστοιχα. Αλλά δεν διαιρει ακριβώς το 7. Δοκιμάζουμε λοιπόν να διπλασιάσουμε τους διαιρετες. (2,3,4,5,6) Χ 2 δίνει (4,6,8,10,12) Το Ε.Κ.Π είναι 120. To 119 λοιπόν αφήνει τα υπόλοιπα που θέλουμε και 119/7 =17. Άρα τα αυγά είναι (κατ'ελάχιστον) 119. Λύση του Papaveri. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός των αυγών είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 2, 3, 4, 5, και 6 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι: Ε.Κ.Π. = 22*3*5=60 --> Ε.Κ.Π. = 4*3*5 = 60. Συνεπώς ο Ν+1 είναι ένα πολλα-πλάσιο του 60: Ν+1=60, Ν+1=120, Ν+1=180, …, Ν+1= ∞ και Ν=60-1=59, Ν=120-1=119, Ν=180-1=179, …, Ν= ∞-1. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος από τ’ ανωτέρω πολλαπλάσια επιλέγουμε τη μικρότερη ποσότητα των αυγών που είναι: Ν+1=120 --> Ν=120-1=119. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν=119 αυγά. 119:2=59 και υπόλοιπο 1, 119:3=39 και υπόλοιπο 2, 119:4=29 και υπόλοιπο 3, 119:5=23 και υπόλοιπο 4, 119:6=19 και υπόλοιπο 5, 119:7=17 και υπόλοιπο 0, Λύση του Ε. Αλεξίου. Με καθυστέρηση, αλλά αφου έκανα τον κόπο.. ΕΚΠ (2,3,4,5,6) =60 Συνεπώς για να μένει υπόλοιπο 1 για τα (2,3,4,5,6) ο αριθμός είναι 60-1=59, ο οποίος διαιρόυμενος με το7 δίνει πηλίκον 8 και υπόλοιπο 3. Συνεπώς για να καλύψουμε και τον όρο, η διαίρεση με το 7 να μην αφήνει υπόλοιπο, πρέπει να ανατρέξουμε σε πολλαπλάσια του ΕΚΠ κα να αφαιρούμε μία μονάδα για να καλύπτουμε την συνθήκη 2,3,4,5,6 μέχρι να πετύχουμε αριθμό που διαιρείται ακριβώς με το 7 Ο ζητούμενος αριθμός αυγών μπορεί να δοθεί από τον τύπο ν*εκπ-1 με την εύρεση του κατάλληλου ν Για ν=2 ο αριθμός γίνεται 120-1=119 ο οποίος πληρεί και τις 2 συνθήκες 1mod(2,3,4,5,6) και 0mod7 (τους τύπους τους γράφω με μεγάλη επιφύλαξη, μέχρι χθές μου ήταν παντελώς άγνωστοι.) Εξάλου ήταν αναμενόμενο διότι από το 59 στό 119 στο υπόλοιπο 3 της διαίρεσης με το 7 θα προστεθούν άλλες 3+1 =4 , σύνολο 7 μονάδες άρα διαιρείται με το 7! Ο επόμενος αριθμός που πληρεί τις παραπάνω συνθήκες είναι ο 9*60-1=539>200. Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός αυγών μικρότερος του 200 είναι ο 119. Και ανεξάρτητα απο τον περιορισμό του 200 ο γενικός τύπος , χωρίς να το ψάξω ιδιαίτερα, πρέπει να είναι Α= 60ν-1, όπου ν=2+7*μ, (Όπου μ: 0,1,2,3,....μ, θετικοί και ακέραιοι αριθμοί)