Παρασκευή, 25 Ιανουαρίου 2013

Τ' Αυγά


Σ’ ένα καλάθι υπάρχει μια ποσότητα αυγών. Εάν πάρουμε ανά: 2, 3, 4, 5, και 6 αυγά κάθε φορά, τότε μένουν, αντίστοιχα: 1, 2, 3, 4, και  5 αυγά στο καλάθι. Όταν, όμως, πάρουμε ανά 7 αυγά δεν μένει κανένα. Πόσα αυγά υπάρχουν στο καλάθι, ώστε να ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος, εάν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός τους είναι μικρότερος του 200; (Κατ.5/Νο.67) 

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Όπως ξαναείχαμε πει/αποδείξει σε κάποιο παλιότερο πρόβλημα ο μικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την συνθήκη να αφήνει υπόλοιπο νi-1 όταν διαιρειται με τον αριθμό νi , είναι το Ε.Κ.Π των νi μείον 1. Ε.Κ.Π (2,3,4,5,6)=60 Άρα το 59 διαιρεί τους 2,3,4,5,6 αφήνωντας υπόλοιπο 1,2,3,4,5 αντίστοιχα. Αλλά δεν διαιρει ακριβώς το 7. Δοκιμάζουμε λοιπόν να διπλασιάσουμε τους διαιρετες. (2,3,4,5,6) Χ 2 δίνει (4,6,8,10,12) Το Ε.Κ.Π είναι 120. To 119 λοιπόν αφήνει τα υπόλοιπα που θέλουμε και 119/7 =17. Άρα τα αυγά είναι (κατ'ελάχιστον) 119. Λύση του Papaveri. Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός των αυγών είναι ο Ν. Από τη σειρά των αριθμών 2, 3, 4, 5, και 6 βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. τους που είναι: Ε.Κ.Π. = 22*3*5=60 --> Ε.Κ.Π. = 4*3*5 = 60. Συνεπώς ο Ν+1 είναι ένα πολλα-πλάσιο του 60: Ν+1=60, Ν+1=120, Ν+1=180, …, Ν+1= ∞ και Ν=60-1=59, Ν=120-1=119, Ν=180-1=179, …, Ν= ∞-1. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος από τ’ ανωτέρω πολλαπλάσια επιλέγουμε τη μικρότερη ποσότητα των αυγών που είναι: Ν+1=120 --> Ν=120-1=119. Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο Ν=119 αυγά. 119:2=59 και υπόλοιπο 1, 119:3=39 και υπόλοιπο 2, 119:4=29 και υπόλοιπο 3, 119:5=23 και υπόλοιπο 4, 119:6=19 και υπόλοιπο 5, 119:7=17 και υπόλοιπο 0, Λύση του Ε. Αλεξίου. Με καθυστέρηση, αλλά αφου έκανα τον κόπο.. ΕΚΠ (2,3,4,5,6) =60 Συνεπώς για να μένει υπόλοιπο 1 για τα (2,3,4,5,6) ο αριθμός είναι 60-1=59, ο οποίος διαιρόυμενος με το7 δίνει πηλίκον 8 και υπόλοιπο 3. Συνεπώς για να καλύψουμε και τον όρο, η διαίρεση με το 7 να μην αφήνει υπόλοιπο, πρέπει να ανατρέξουμε σε πολλαπλάσια του ΕΚΠ κα να αφαιρούμε μία μονάδα για να καλύπτουμε την συνθήκη 2,3,4,5,6 μέχρι να πετύχουμε αριθμό που διαιρείται ακριβώς με το 7 Ο ζητούμενος αριθμός αυγών μπορεί να δοθεί από τον τύπο ν*εκπ-1 με την εύρεση του κατάλληλου ν Για ν=2 ο αριθμός γίνεται 120-1=119 ο οποίος πληρεί και τις 2 συνθήκες 1mod(2,3,4,5,6) και 0mod7 (τους τύπους τους γράφω με μεγάλη επιφύλαξη, μέχρι χθές μου ήταν παντελώς άγνωστοι.) Εξάλου ήταν αναμενόμενο διότι από το 59 στό 119 στο υπόλοιπο 3 της διαίρεσης με το 7 θα προστεθούν άλλες 3+1 =4 , σύνολο 7 μονάδες άρα διαιρείται με το 7! Ο επόμενος αριθμός που πληρεί τις παραπάνω συνθήκες είναι ο 9*60-1=539>200. Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός αυγών μικρότερος του 200 είναι ο 119. Και ανεξάρτητα απο τον περιορισμό του 200 ο γενικός τύπος , χωρίς να το ψάξω ιδιαίτερα, πρέπει να είναι Α= 60ν-1, όπου ν=2+7*μ, (Όπου μ: 0,1,2,3,....μ, θετικοί και ακέραιοι αριθμοί)

5 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Όπως ξαναείχαμε πει/αποδείξει σε κάποιο παλιότερο πρόβλημα ο μικρότερος ακέραιος που ικανοποιεί την συνθήκη να αφήνει υπόλοιπο νi-1 όταν διαιρειται με τον αριθμό νi , είναι το Ε.Κ.Π των νi μείον 1.
Ε.Κ.Π (2,3,4,5,6)=60
Άρα το 59 διαιρεί τους 2,3,4,5,6 αφήνωντας υπόλοιπο 1,2,3,4,5 αντίστοιχα. Αλλά δεν διαιρει ακριβώς το 7. Δοκιμάζουμε λοιπόν να διπλασιάσουμε τους διαιρετες.
(2,3,4,5,6) Χ 2 δίνει (4,6,8,10,12)
Το Ε.Κ.Π είναι 120.
To 119 λοιπόν αφήνει τα υπόλοιπα που θέλουμε και 119/7 =17.
Άρα τα αυγά είναι (κατ'ελάχιστον) 119.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Πολύ σωστά! Στο συγκεκριμένο πρόβλημα ο @Doloros στην ιστοσελίδα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" είχε απαντήσει σωστά, αλλά μετά το "διόρθωσε" και τελικά έδωσε λανθασμένη απάντηση και αυτό οφείλεται στη κακή διατύπωση του προβλήματος. Δες το κι' εσύ.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Κάρλο, δεν συμφωνώ οτι ήταν κακώς διατυπωμένο το πρόβλημα.
Το 119 είναι όντως ο ελάχιστος αριθμός που ικανοποιεί τις συνθήκες.(το αναφέρω κι εγώ στη λύση μου)
Η δικιά σου εκφώνηση είναι επίσης σωστή/ εναλλακτική (επειδή το 59 και ο τρίτος κατά σειρα πιθανός αριθμός το 179 (3*60=180) δεν διαιρούν ακριβώς το 7).

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Με καθυστέρηση, αλλά αφου έκανα τον κόπο..
ΕΚΠ (2,3,4,5,6) =60
Συνεπώς για να μένει υπόλοιπο 1 για τα (2,3,4,5,6)
ο αριθμός είναι 60-1=59, ο οποίος διαιρόυμενος με το7 δίνει πηλίκον 8 και υπόλοιπο 3.
Συνεπώς για να καλύψουμε και τον όρο, η διαίρεση με το 7 να μην αφήνει υπόλοιπο, πρέπει να ανατρέξουμε σε πολλαπλάσια του ΕΚΠ κα να αφαιρούμε μία μονάδα για να καλύπτουμε την συνθήκη 2,3,4,5,6 μέχρι να πετύχουμε αριθμό που διαιρείται ακριβώς με το 7
Ο ζητούμενος αριθμός αυγών μπορεί να δοθεί από τον τύπο
ν*εκπ-1 με την εύρεση του κατάλληλου ν
Για ν=2 ο αριθμός γίνεται 120-1=119 ο οποίος πληρεί και τις 2 συνθήκες 1mod(2,3,4,5,6) και 0mod7 (τους τύπους τους γράφω με μεγάλη επιφύλαξη, μέχρι χθές μου ήταν παντελώς άγνωστοι.)
Εξάλου ήταν αναμενόμενο διότι από το 59 στό 119 στο υπόλοιπο 3 της διαίρεσης με το 7 θα προστεθούν άλλες 3+1 =4 , σύνολο 7 μονάδες άρα διαιρείται με το 7!
Ο επόμενος αριθμός που πληρεί τις παραπάνω συνθήκες είναι ο 9*60-1=539>200.
Συνεπώς ο ζητούμενος αριθμός αυγών <200 είναι ο 119
Και ανεξάρτητα απο τον περιορισμό του 200 ο γενικός τύπος , χωρίς να το ψάξω ιδιαίτερα, πρέπει να είναι
Α= 60ν-1, όπου ν=2+7*μ, μ 0,1,2,3,....μ)

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Πολύ σωστά το διτυπώσατε.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes