Σάββατο, 19 Ιανουαρίου 2013

Το Ενυδρείο

Ένα ενυδρείο έχει σχήμα ορθογώνιο με διαστάσεις 30 εκατ. πλάτος και 40 εκατ. ύψος όπως φαίνεται στο (σχήμα 1). Το ενυδρείο είναι γεμάτο με νερό κατά τα 2/3 του ύψους του. 
α) Αν πλαγιάσουμε το ενυδρείο όπως φαίνεται στο (σχήμα 2) να βρείτε σε ποιο ύψος θα φτάσει η στάθμη του. 
β) Περιστρέφουμε το ενυδρείο ώστε να βλέπουμε το ίδιο ορθογώνιο. Να εξετάσετε αν η στάθμη του νερού μπορεί να γίνει η διαγώνιος του ορθογωνίου, όπως φαίνεται στο (σχήμα 3). (Κατ.34/Νο.553)


Λύση

α) Η επιφάνεια ολόκληρου του ορθογωνίου που βλέπουμε στο (σχήμα 1), είναι: Ε=30*40 =1.200εκατ2. Το ενυδρείο είναι γεμάτο με νερό κατά τα 2/3 του ύψους του. Άρα η επιφάνεια του νερού που βλέπουμε στο (σχήμα 1) είναι: Ε=[(2/3) *30 *40]= 2.400/3= 800εκατ2. Στο (σχήμα 2), η βάση του ορθογωνίου είναι 40εκατ.. Επομένως το ύψος της στάθμης του νερού θα είναι 800:40 = 20εκατ. β) Για να γίνει η στάθμη του νερού η διαγώνιος του (σχήματος 3), πρέπει το νερό μέσα στο ενυδρείο να είναι το μισό της χωρητικότητας του ενυδρείου. Στο πρόβλημα όμως δόθηκε ότι το νερό του ενυδρείου είναι τα 2/3του συνολικού χώρου του ενυδρείου. Επομένως κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει.

7 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Παραδοχή το ενυδρείο είναι ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.
α) Χωρητικότητα ενυδρείου α*30*40 cm3, α το μήκος του ενυδρείου
Σχ.1 Ογκος νερού=α*30*40*2/3 cm3
Σχ.2 Ογκος νερού=α*40*χ, χ το ύψος του νερού
Ο όγκος του νερού και στις 2 περιπτώσεις παραμένει ίδιος, συνεπώς
α*30*40*2/3=α*40*χ =>
30*2/3=χ =>
30*2=3*χ =>
χ=30*2/3=20 cm
β) Ποτέ, γιατί η διαγώνιος χωρίζει το ενυδρείο σε 2 στερεά ίσου όγκου,
συνεπώς το νερό θα ανέβει πιο πάνω από την διαγώνιο.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

ΕΥΡΕΣΗ ΣΤΑΘΜΗΣ ΝΕΡΟΥ στο Σχ.3

Το εμβαδό της επιφάνειας,,ίδιο για όλα, που φαίνεται στα σχήματα 1,2,3 είναι
Ε=30*40=40*30=1200 εκ2

Το εμβαδό της επιφάνειας που καταλαμβάνει το νερό είναι
Ε=30*40*2/3=40*20=800 εκ2
Το ίδιο εμβαδό θα καταλαμβάνει και στο σχήμα 3, αφού και ο όγκος και η τρίτη ακμή του είναι ίδια

Έστω χ το ύψος των 2 ομοίων ορθογωνίων τριγώνων στην, κοινή, υποτείνουσα.
Ετριγώνων=30*40/2=50*χ/2= 600 εκ2 (η υποτείνουσα χωρίς υπολογισμό απο το γνωστό ορθογώνιο τριγωνο 3,4,5 και τα πολλαπλάσια του) =>
χ=600*2/50=24 εκ.
Φέρνω παράλληλο προς την υποτείνουσα και σε απόσταση y απο την πάνω κορυφή, που να αντιστοιχεί στην σταθμη του νερού. Σχηματίζεται έτσι στο πάνω μέρος του σχήματος ένα νέο ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές έστω 3z, 4z, 5z (3,4,5 λόγω ομοιότητας των ορθογωνίων τριγώνων)
Το εμβαδόν του πάνω μικρού ορθ. τριγώνου πρέπει να είναι 1200-800=400 εκ2. Συνεπώς
3z*4z/2=400 εκ2, 6z^2=400, z^2=400/6=200/3 =>
z=ρίζα του (200/3=2*100/3)=10*ρίζα2/ρίζα3 =10*1.4142/1.7321=8.165 εκ
Εμβαδόν μικρού ορθ. τριγώνου
Ε=5z*y/2=400, 5* 8.165 *y=800, y=800/(5*8.165)=19.596 εκ.
Συνεπώς η στάθμη του νερού βρίσκεται σε απόσταση 24+24-19.5966=28.404 εκ.

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Ως προς το πρώτο σκέλος του προβλήματος το λύσατε σωστά. Στο δεύτερο σκέλος δεν συμφωνώ με αυτό που γράφετε,διότι:
"...β)Για να γίνει η στάθμη του νερού η διαγώνιος του (σχήματος 3), πρέπει το νερό μέσα στο ενυδρείο να είναι το μισό της χωρητικότητας του ενυδρείου. Στο πρόβλημα όμως δόθηκε ότι το νερό του ενυδρείου είναι τα 2/3του συνολικού χώρου του ενυδρείου. Επομένως κάτι τέτοιο δεν μπορεί να γίνει."

Επίσης δεν έλαβα κάποια απάντηση στο μήνυμα που σας έστειλα για το e-mail του κ. Γ. Ριζόπουλου.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Ξαναδιαβάστε , παρακαλώ, προσεκτικά,αυτά που γράφω στο (β)
Το νόημα είναι πεντακάθαρο,δεν έχει καμία σχέση με αυτό που μου γράφετε
στο δικό σας (β) πολύ δε περισσότερο που στο δεύτερο σχόλιο μου υπολογίζω
αυτό το ύψος(στάθμη) σε 28,404 εκ και καθώς το ύψος(στάθμη της διαγωνίου είναι 24 εκ. Συνεπώς 4.404 εκ πάνω από την διαγώνιο.
Υ.Γ.
Ποτέ =σε καμία περίπτωση, ουδέποτε,
=όχι με έμφαση π.χ.
α)-Θα έρθεις στο ραντεβού? -Όχι!
β) -Θα έρθεις στο ραντεβού? -Ποτέ!(=ούτε σε αυτό το ραντεβού, ούτε καμία άλλη φορά!)

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Το πρόβλημα ζητάει αυτό που έγραψα και όχι αυτό που γράφετε. Γι' αυτό προτείνω να ξαναδιαβάσετε την εκφώνηση (β).
Επίσης δεν μου απαντήσατε στο εάν λάβατε το e-mail του κ. Γ. Ριζόπουλου.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Δεν χρειάσθηκε να ξαναδιαβάσω τα δεδομένα, χρειάσθηκε να διαβάσω όμως την απάντηση σας στο (β) και διαπίστωσα ότι την διάβασα λάθος, τώρα που ξεκαθάρισα ότι όλη αφορούσε την σωστή απάντηση και όχι ότι ένα μέρος αφορούσε δική μου σκέψη, με μπέρδεψαν τα εισαγωγικά που βάλατε στην πρόταση σας (συνήθως τα βάζουμε όταν αφορούν διατύπωση άλλου ή επανάληψη προηγούμενης πρότασης), τώρα που την διάβασα χωρίς τα εισαγωγικά συμφωνώ απόλυτα και μένω έκπληκτος αφού λέμε το ίδιο πράγμα με άλλα λόγια και επειδή κάποια πράγματα είναι αυτονόητα τα παίρνω ως δεδομένα.
Η απάντηση μου ήταν
Όχι (εννοείται δεν μπορεί η στάθμη του νερού να γίνει η διαγώνιος του, δεν το επανέλαβα αφού ήταν διατυπωμένο στην ερώτηση) διότι η διαγώνιος το χωρίζει στα δύο (άρα 1/2 το καθένα), συνεπώς το νερό θα ανέβει πιο πάνω από την διαγώνιο (αφού ήδη ξέρω ότι το νερό είναι 800α σε μία δεξαμενή 1200α.)


Όχι δεν έχω λάβει το e-mail

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Συμφωνούμε για τη λύση γρίφου.
Σας έστειλα εκ νέου το e-mail του κ. Γ. Ριζόπουλου. Ελπίζω αυτή τη φορά να το λάβατε. Περιμένω επιβεβαίωση.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes