Παρασκευή, 11 Ιανουαρίου 2013

Οι Μπανάνες

«Μέσα στις φωτεινές και αναζωογονητικές παρυφές του δάσους, τις γεμάτες από αναρίθμητα δένδρα, με τα κλαδιά τους λυγισμένα από το βάρος των λουλουδιών και των φρούτων, δέντρα όπως νεραντζιές, λεμονιές, φλαμουριές, μπανανιές, παλμίρες και μάγκο, μέσα στις παρυφές τις γεμάτες ήχους, από πλήθος παπαγάλων, πιθήκων και κούκων που βρισκόταν κοντά σε πηγές γεμάτες νούφαρα, με τις μέλισσες να βουίζουν γύρω από αυτά, ένας αριθμός από κουρασμένους ταξιδιώτες μπήκαν με χαρά. Εκεί υπήρχαν 63 ίσοι τον αριθμό, σωροί από μπανάνες και επτά άλλοι σωροί από τα ίδια φρούτα, που μοιράστηκαν ίσα σε 23 ταξιδιώτες, έτσι ώστε να μην υπάρχει υπόλοιπο. Πείτε μου τώρα το αριθμητικό μέτρο του κάθε σωρού από μπανάνες» (Κατ.34/Νο.548)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Είναι ένα από τα διάσημα διοφαντικά(indeterminate) προβλήματα του Ινδού μαθηματικού Μαχαβίρα. (από τους πρώτους που επιχείρησε να ασχοληθεί με τετρ.ρίζες αρνητικών αριθμών) To αναφέρει (χωρίς λύση!) ο D. Smith στο κλασικό του σύγγραμμα «History of Mathematics» Eδώ μπορείτε να δείτε όλο το βιβλίο, η σχετική αναφορά βρίσκεται στη σελίδα 163 http://archive.org/stream/historyofmathema033304mbp#page/n177/mode/2up/search/forest Η λύση ουσιαστικά ανάγεται στην λύση της διοφαντικής εξίσωσης: 63 x + 7 = 23y (x οι μπανάνες κάθε σωρού και y οι ταξιδιώτες) ή 63 x - 23 y + 7 = 0 Εφαρμόζω με τα ακόλουθα βήματα τον γενικευμένο Ευκλείδειο αλγόριθμο Βήμα 1: 1 * 63 + 0 * (-23) = 63 Βήμα 2: 0 * 63 + 1 * (-23) = -23 Βήμα 3: 1 * 63 + 3 * (-23) = -6 Βήμα 4: (-3) * 63 + (-8) * (-23) = -5 Βήμα 5: 4 * 63 + 11 * (-23) = -1 Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία με 7 ,έχουμε: 28 * 63 + 77 * (-23) = -7 Προσθέτοντας και αφαιρώντας: 63 * (-23) t έχουμε: (28 + (-23) t) * 63 + 77 - 63 t) * (-23) = -7 Έτσι το σύνολο των λύσεων προκύπτει ως: x= 28-23t y=77-63t Mε τον μετασχηματισμό κ=1+t έχουμε τελικά: X=5+23k Y=14+63k (για κ=0, η μικρότερη δυνατή λύση είναι χ=5 και y=14)

2 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Κάρλο , πού το βρήκες αυτό; Μπράβο!
Είναι ένα από τα διάσημα διοφαντικά(indeterminate) προβλήματα του Ινδού μαθηματικού Μαχαβίρα. (από τους πρώτους που επιχείρησε να ασχοληθεί με τετρ.ρίζες αρνητικών αριθμών)
To αναφέρει (χωρίς λύση!) ο D. Smith στο κλασικό του σύγγραμμα «History of Mathematics»
Eδώ μπορείτε να δείτε όλο το βιβλίο, η σχετική αναφορά βρίσκεται στη σελίδα 163
http://archive.org/stream/historyofmathema033304mbp#page/n177/mode/2up/search/forest

Η λύση ουσιαστικά ανάγεται στην λύση της διοφαντικής εξίσωσης:
63 x + 7 = 23y
(x οι μπανάνες κάθε σωρού και y οι ταξιδιώτες)
ή 63 x - 23 y + 7 = 0
Εφαρμόζω με τα ακόλουθα βήματα τον γενικευμένο Ευκλείδειο αλγόριθμο
Βήμα 1: 1 * 63 + 0 * (-23) = 63
Βήμα 2: 0 * 63 + 1 * (-23) = -23
Βήμα 3: 1 * 63 + 3 * (-23) = -6
Βήμα 4: (-3) * 63 + (-8) * (-23) = -5
Βήμα 5: 4 * 63 + 11 * (-23) = -1
Πολλαπλασιάζοντας την τελευταία με 7 ,έχουμε:
28 * 63 + 77 * (-23) = -7
Προσθέτοντας και αφαιρώντας:
63 * (-23) t έχουμε:
(28 + (-23) t) * 63 + 77 - 63 t) * (-23) = -7
Έτσι το σύνολο των λύσεων προκύπτει ως:
x= 28-23t
y=77-63t
Mε τον μετασχηματισμό κ=1+t έχουμε τελικά:
X=5+23k
Y=14+63k (για κ=0, η μικρότερη δυνατή λύση είναι χ=5 και y=14)

Papaveri είπε...

Γιώργο το ήξερα ότι θα σου άρεσε γι' αυτό το ανάρτησα. Μου αρέσουν κι' εμένα οι Διοφαντικές εξισώσεις.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes