Η Επανάληψη

Ο καθηγητής ενός σχολείου ζήτησε από τους μαθητές του να κάνουν 
επανάληψη όλες τις σελίδες από την 20^η μέχρι και την 73^η.

α) Να βρείτε πόσες σελίδες πρέπει να διαβάσουν οι μαθητές.
β) Αν από τις σελίδες αυτές εξαιρέσουμε όσες διαιρούνται δια 5, πόσες 
σελίδες απομένουν για διάβασμα;
γ) Σε ολόκληρο το βιβλίο, στις σελίδες που είναι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν
σημαντικές ερωτήσεις. Πόσες και ποιες είναι οι σελίδες αυτές από την  
32^η σελίδα ως και την 40^η;
δ) Ο Νίκος έσκισε ένα φύλλο του βιβλίου. Το άθροισμα των σελίδων του  
φύλλου αυτού είναι 99. Να βρείτε τις σελίδες που κόπηκαν. 
(Κατ.34/Νο.549)

Λύση

α) Για να βρούμε το πλήθος των σελίδων που πρέπει να διαβάσουν οι μαθητές, πρέπει από τις 73 πρώτες σελίδες να αφαιρέσουμε όσες δεν θα διαβάσουν, δηλαδή πρέπει να αφαιρέσουμε 19 σελίδες. Έτσι το πλήθος των σελίδων που πρέπει να διαβάσουν οι μαθητές είναι 73 – 19 = 54 σελίδες. β) Οι αριθμοί που διαιρούνται δια 5 είναι αυτοί που λήγουν σε 0 ή 5. Έτσι, από το 20 μέχρι το 73 υπάρχουν οι εξής 11 αριθμοί: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65 και 70. Άρα οι μαθητές πρέπει να διαβάσουν 54 – 11 = 43 σελίδες. γ) Εδώ πρέπει να βρούμε τους πρώτους αριθμούς από το 32 μέχρι και το 40. Οι άρτιοι αριθμοί 32, 34, 36, 38, 40 δεν είναι πρώτοι αφού διαιρούνται δια 2. Ο 33 και ο 39 διαιρούνται με το 3, άρα δεν είναι πρώτοι, ενώ ο 35 διαιρείται με το 5, άρα δεν είναι πρώτος. Μένει μόνο ο 37, ο οποίος είναι πρώτος αριθμός. Άρα υπάρχει μόνο μία σελίδα, η 37η. δ) Οι σελίδες που σκίστηκαν είναι διαδοχικοί αριθμοί. Ο αριθμός της μεγαλύτερης σελίδα είναι ίσος με τον αριθμό της μικρότερης συν 1. Αν λοιπόν από το 99 αφαιρέσουμε 1 βρίσκουμε το διπλάσιο του αριθμού της μικρότερης σελίδας. Άρα ο αριθμός της μικρότερης σελίδας είναι ο (99 – 1):2 = 49. Επομένως οι σελίδες που σκίστηκαν είναι οι 49 και 50.