Πέμπτη, 24 Ιανουαρίου 2013

Το Τετράγωνο

 
Εν έτη 1225, ο αυτοκράτορας Φρειδερίκος ο 2ος  Χοχενστάουφεν (1194-1250) ταξίδεψε μέχρι την Πίζα της Ιταλίας  συνοδευόμενος από  ένα επιτελείο διακεκριμένων μαθηματικών της εποχής , να διαπιστώσει ιδίοις όμμασι , αν ο Leonardo  Fibonacci ήταν αντάξιος της φήμης του. Τον υπέβαλλε λοιπόν σε μια δημόσια μαθηματική  εξέταση. Ο Fibonacci  με ευκολία έλυσε κάθε πρόβλημα που του τέθηκε  και δικαίωσε την μαθηματική του φήμη. Ένα από τα προβλήματα αυτού του διαγωνίσματος, ήταν το εξής :
« Να βρεθεί ένα τέλειο τετράγωνο , τέτοιο ώστε , είτε αφαιρέσουμε 5 μονάδες, είτε προσθέσουμε 5 μονάδες να παραμένει τέλειο τετράγωνο.» (Κατ.1/Νο.134)

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Έστω α^2 το ζητούμενο τετράγωνο. Θα διακρίνω δύο περιπτώσεις: α)Την περίπτωση να προσθέσω το 5 και να προκύπτει τέλειο τετράγωνο, έστω το β^2. Έχω α^2+5=β^2 ή ισοδύναμα: α^2+5=β^2 --> α^2-β^2= -5 ---> (α-β)*(α+β)= -5 ---> (β-α)*(β+α)=1*5, ή οποία για τους φυσικούς αριθμούς είναι ισοδύναμη με το σύστημα β-α=1 και β+α=5 και με προφανή λύση β=3 και α=2. Οπότε το ζητούμενο τετράγωνο είναι: α^2+5=β^2 --> 2^2+5=3^2 --> 4+5=9 β)Την περίπτωση να αφαιρέσω το 5 και να προκύπτει τέλειο τετράγωνο, έστω το γ^2. Έχω α^2-5=γ^2 ή ισοδύναμα: α^2-5=γ^2 --> α^2-γ^2=5 ---> (α-γ)*(α+γ)=1*5, ή οποία για τους φυσικούς αριθμούς είναι ισοδύναμη με το σύστημα α-γ=1 και α+γ=5 και με προφανή λύση α=3 και γ=2. Οπότε το ζητούμενο τετράγωνο είναι: α^2-5=γ^2 --> 3^2-5=2^2 --> 9-5=4 Λύση του G. N. Popov. Ο μαθηματικός και ιστορικός των μαθηματικών G. N. Popov, στο βιβλίο του «Ιστορικά Προβλήματα» (1932) παρουσιάζει μια λύση του προβλήματος, εικάζοντας τον τρόπο λύσης του Fibonacci. Έστω α^2 ο ζητούμενος αριθμός , τότε από υπόθεση θα ισχύει: α^2+5=β^2, α^2-5=γ^2 Αφαιρούμε κατά μέλη : Και προκύπτει: β^2 – γ^2 = 10 Αλλά ο αριθμός 10 γράφεται:10=(80x18)/12^2,όμως β^2–γ^2=(β-γ)*(β+γ) (Ταυτότητα διαφοράς τετράγωνων) (β-γ)*(β+γ)=(80x18)/12^2 -->(β-γ)*(β+γ)=(80/12)x(18/12) --> β-γ =18/12, β+γ =80/12 Λύνοντας το σύστημα έχουμε : β=49/12, γ=31/12 Άρα α^2=(1681/144)=(41/12)^2 Πραγματικά επαληθεύοντας ,προκύπτει: (1681/144)+5= 2401/144=(49/12)^2, (1681/144)-5= 961/144=(31/12)^2 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Να προτείνω και μια φανταστική λύση (την οποία βέβαια αποκλείω να έδωσε ο Λεονάρντο της Πίζας ,γιος του Μπονάτσι).Το 4 4=2^2 , 4+5=9 και 4-5=-1=i^2

7 σχόλια:

Nikos Lentzos είπε...

Έστω α^2 το ζητούμενο τετράγωνο.
Θα δικρίνω δύο περιπτώσεις:
α)Την περίπτωση να προσθέσω το 5 και να προκύπτει τέλειο τετράγωνο, έστω το β^2.
Έχω α^2+5=β^2 ή ισοδύναμα α^2+5=β^2 ή
α^2-β^2=-5 <--->
(α-β)*(α+β)=-5 <--->
(β-α)*(β+α)=1*5 ή οποία για φυσικους αριθμούς είναι ισοδύναμη με το σύστημα β-α=1 και β+α=5 και με προφανή λύση β=3 και α=2.
Οπότε το ζητόυμενο τετράγωνο είναι:
α^2=4 (4+5=9=3^2).

β)Την περίπτωση να αφαιρέσσω το 5 και να προκύπτει τέλειο τετράγωνο, έστω το γ^2.
Έχω α^2-5=γ^2 ή ισοδύναμα α^2-5=γ^2 ή
α^2-γ^2=5 <--->
(α-γ)*(α+γ)=1*5 ή οποία για φυσικούς αριθμούς είναι ισοδύναμη με το σύστημα α-γ=1 και α+γ=5 και με προφανή λύση α=3 και γ=2.
Οπότε το ζητούμενο τετράγωνο είναι:
α^2=9 (9-5=4=2^2).

Papaveri είπε...

@Nikos Lentzos
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή. Δες τη λύση που δίνει ο G. N. Popov, στο βιβλίο του «Ιστορικά Προβλήματα»

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Κάτι δεν πάει καλά εδώ..:-)

Να προτείνω και μια φανταστική λύση (την οποία βέβαια αποκλείω να έδωσε ο Λεονάρντο της Πίζας ,γιος του Μπονάτσι) Το 4
4=2^2 , 4+5=9 και 4-5=-1=i^2

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Πολύ ωραία λύση!

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Nα προσθέσω κάποια γενικά (κι ελπίζω ενδιαφέροντα για τους συνδαιτημόνες)

Η εξίσωση που εξετάζουμε είναι η
x2 - y2 =10 ή x2 - y2 - 10 =0
Aυτή η διοφαντική εξίσωση δεν έχει ακεραιες λύσεις.

Γενικά μια διοφαντική εξίσωση της γενικής μορφής:
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

χαρακτηρίζεται απο την διακρίνουσα ποσότητα: B2 - 4AC

Στην περίπτωσή μας
B2 - 4AC = 0 - 4*1*(-1)=4>0 (Υπερβολική περίπτωση)

Αν το F = 0 έχουμε την προφανή λύση x = 0 και y = 0.

Διερεύνηση αν υπάρχουν κι άλλες

Ax2 + Bxy + Cy2 = -F

Πολ/ζουμε κατά μέλη με το 4A:
4A2x2 + 4ABxy + 4ACy2 = -4AF
4A2x2 + 4ABxy + B2y2 - B2y2 + 4ACy2 = -4AF
(2Ax + By)2 - (B2 - 4AC)y2 = -4AF

Αυτή μπορεί να εκφραστεί σαν διαφορά τετραγώνων:

(2Ax + By + sqrt(B2 - 4AC) y) (2Ax + By - sqrt(B2 - 4AC) y) = -4AF
(2Ax + (B + sqrt(B2 - 4AC))y) (2Ax + (B - sqrt(B2 - 4AC))y) = -4AF

Εφόσον η -4AF = 0, η προϋπόθεση για νάχουμε κι άλλες λύσεις, είναι η B2 - 4AC να είναι τέλειο τετράγωνο.

Τα παραπάνω χρειάζονται για να αποσαφηνιστούν τα παρακάτω.

Αν F διαφορετικο από 0 και B2 - 4AC = k2 (στην περίπτωσή μας 4) για κάποιον ακέραιο k, οι παρενθέσεις στην αποπάνω εξίσωση πρέπει να είναι παράγοντες του -4AF.

Έστω u1, u2,..ui οι θετικοί και αρνητικοί διαιρέτες του -4AF.
Προκύπτει το ακόλουθο γραμ. σύστημα 2 αγνώστων:

2Ax + (B+k)y = ui
2Ax + (B-k)y = -4AF/ui

Έτσι έχουμε:

y = (ui + 4AF/ui) / (2k)
x = (ui - (B+k)y) / (2A)

y = (ui + 4*1*(-10)/ui) / 4

x = (ui - (0+2)y) / 2

Αυτό το σύστημα δεν έχει λύσεις που να δίνουν ακέραιες τιμές στα x και y

ΥΓ. Αν η B2 - 4AC δεν είναι τέλειο τετράγωνο, είναι μια ολόκληρη άλλη ιστορία.
ΥΓ2. Δεν είμαι σίγουρος αν ο όρος "διακρίνουσα" για το Β^2-4AC σ'αυτήν την πείπτωση είναι δόκιμος.Μια και είναι μια τετραγωνική εξίσωση νομίζω ναι.
Ίσως ο Νίκος (Λέντζος) που θεωρώ ότι έχει το πιο στέρεο μαθηματικό υπόβαθρο εδώ μέσα ,να μας έλεγε.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Nα πω επίσης, για χάρη της συζήτησης και μόνο, οτι προσωπικά όλες αυτές τις Ιστορίες (και είναι πολλές) σχετικά με το επιστημονικό/μαθηματικό ενδιαφέρον/ανησυχίες και κυρίως τις ικανότητες των διάφορων "γαλαζοαίματων" της μεσαιωνικής και αναγεννησιακής άλλα και πιο σύγχρονης Ευρώπης ,τις παίρνω λίγο με σκεπτικισμό (oι αγγλοσάξονες έχουν την ωραία έκφραση with a grain of salt) .Πιστεύω οτι οι περισσότερες ειναι κατασκευασμένες ή ωραιοποιημένες εκ των υστέρων. Κάτι σαν τα συγχαρητήρια/υποδοχές των πολιτικών σε αθλητές που διακρίνονται!
Σιγά δηλαδή να μην είχε τα φόντα ο Χόχενστάουφεν να ''εξετάσει" πόσω μάλλον να αξιολογήσει την απόδοση του Φιμπονάτσι, ή εκείνος ο Γάλλος του Βιέτ και του Φερμά, κλπ.
Είναι γνωστό (και ισχύει ως τις μέρες μας..) ότι η επιστήμη ΔΕΝ σε ταίζει. Έτσι διάφοροι κολοσσοί του πνεύματος κατά καιρούς αναγκάστηκαν να κάνουν τον καραγκιόζη σε ''ευγενεις'' για να έχουν την εύνοια τους και γενικά να ζήσουν.
Η Ιταλία (μεσαιωνική και αναγεννησιακή βρίθει από τέτοιες γνωστές περιπτώσεις. Π.χ, Λεονάρντο, Λούκα Πατσιόλι, Καρντάνο και Ταρτάλια,Φιμπονάτσι και..και)
Αλλά και αργότερα βέβαια. Ο Λάιμπνιτς, ο Όϋλερ κι ο Ντεκάρτ (Καρτέσιος) διασημότερα ίσως ''δείγματα".
Όχι βέβαια οτι δεν υπηρξαν και περιπτωσεις ειλικρινούς ανιδιοτελους ενδιαφεροντος από κάποιους ''έχοντες και κατέχοντες'', μην παρεξηγηθώ!
Αλλά γενικα υπαρχει ένα ''φουσκωμα'' :-)

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GERGIOS
Πολύ διαφωτιστική η ανάλυση που έκανες σχετικά με την ανωτέρω εξίσωση.
Όσο αναφορά για το ιστορικό μέρος συμφωνώ μαζί σου μιας και δεν μπορούμε να ελέγξουμε σε βάθος τα στοιχεία που μας παραθέτουν. Το ίδιο συμβαίνει και με το σκάκι. Οι άρχοντες και οι πλούσιοι έπαιρναν υπό τη προστασία τους ισχυρούς παίκτες, όπως ο Giulio Cesare Polerio, Ruy López de Segura, Paolo Boi, Giovanni Leonardo dι Cutri ή di Bona κ.α., για ν' αναφέρω μερικούς.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes