Πέμπτη, 24 Ιανουαρίου 2013

Οι Αριθμοί


 Να βρεθούν δύο άνισοι αριθμοί, που ο καθένας τους είναι το τετράγωνο 
του άλλου.

Λύση

Λύση του batman1986. Έχουμε α,β Ισχύει α=β^2 και β=α^2 Άρα α=α^4 α^4-α=0 Πιο αναλυτικά γράφεται α*(α-1)*(α^2+α+1)=0 Προφανώς οι λύσεις α=0 και α=1 απορρίπτονται αφού οι αριθμοί είναι άνισοι από τη λύση της δευτεροβάθμιας λόγω αρνητικής διακρίνουσας προκύπτουν οι 2 μιγαδικές λύσεις: α1,2=(-1+-i*Root(3))/2 Άρα Το β ισούται με την παραπάνω ποσότητα υψωμένη στο τετράγωνο

8 σχόλια:

batman1986 είπε...

Έχουμε α,β

Ισχύει α=β^2

και β=α^2


Άρα α=α^4

α^4-α=0

Πιο αναλυτικά γράφεται

α*(α-1)*(α^2+α+1)=0

Προφανώς οι λύσεις α=0 και α=1 απορρίπτονται αφού οι αριθμοί είναι άνισοι

από τη λύση της δευτεροβάθμιας λόγω αρνητικής διακρίνουσας προκύπτουν οι 2 μιγαδικές λύσεις

α1,2=(-1+-i*Root(3))/2

Άρα Το β ισούται με την παραπάνω ποσότητα υψωμένη στο τετράγωνο

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Κάρλο, μήπως η εκφώνηση είναι κάπως διαφορετική;
Θέλω να πω ,ουσιαστικά ψάχνουμε λύση στο σύστημα:
x^2=y , y^2=x
Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών οι μόνες (προφανείς) λύσεις είναι
x=y=0 και x=y=1
Εκτός, αν ζητάς τις μιγαδικές.

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Από τη πηγή που το βρήκα δεν διευκρινίζει τι ακριβώς ζητάει. Πάντως, όποια λύση και να δοθεί θα τη θωρήσω σωστή.

Papaveri είπε...

@batman1986
Το ίδιο ισχύει και για σένα.

batman1986 είπε...

@papaveri

Άρα είναι σωστή η απαντησή μου ε?Έδωσα τις μιγαδικές λύσεις (μόνο αυτές γίνονται δεκτές από την εκφώνηση)

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Kάρλο, η λύση του batman είναι ολοκληρωμένη και σωστή!

Υπάρχει η πιο ''κυριλέ'' ξέρω γω (και συγγνώμη για τον όρο) λύση
x=-(-1)^(1/3) και y=(-1)^(2/3)
και αντιστρόφως τα παραπάνω μεταξύ του y και x, αλλά είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα ουσιαστικά.

(εκτός αν μας διαφεύγει κάτι, που δεν το νομίζω)

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Mια άλλη (ίσως πιο 'εύπεπτη') προσέγγιση των λύσεων είναι:
x=-0,5+0,866025*i
y=-0,5-0,866025*i

και x=-0,5-0,866025*i
y=-0,5+0,866025*i
(όπως μου τα βγάζει προσεγγιστικά το Wolframalpha :-))

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS και@batman1986
Όπως ανέφερα και ανωτέρω δέχομαι και των δύο τη λύση σωστή.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes