Τρίτη, 22 Ιανουαρίου 2013

Οι Κύκλοι


Μπορούμε να τοποθετήσουμε 24 κύκλους σε ένα επίπεδο, έτσι ώστε κάθε κύκλος να εφάπτεται ακριβώς σε τρεις άλλους κύκλους; (Κατ.27/Νο.343)

Λύση

Ναι, μπορούμε. Χρησιμοποιώντας 24 νομίσματα. Βλέπε την εικόνα ανωτέρω. Λύση τουΝ.Λέντζου. Ας πάρουμε ένα κανονικό εξάγωνο του οποίου η πλευρά λ έχει μήκος, όσο το μήκος έξι ακτίνων, δηλαδή, λ=6R (R η ακτίνα των ίσων κύκλων). Αρχικά τοποθετούμε τους έξι κύκλους στις κορυφές του εξαγώνου, ώστε το κέντρο τους να συμπίπτει με τις κορυφές αυτού. Στη συνέχεια τοποθετούμε δύο κύκλους σε κάθε πλευρά, τον έναν δίπλα στον άλλο, ανάμεσα στους κύκλους που έχουν τοποθετηθεί στις κορυφές, ετσι ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται πάνω στις πλευρές του εξαγώνου. Οι δώδεκα αυτοί κύκλοι και οι έξι που τοποθετήθηκαν αρχικά (σύνολο 18) σχηματίζουν μια (κλειστή) αλυσίδα και προφανώς κάθε ένας εφάπτεται με τους δύο γειτονικούς του. Τέλος τοποθετούμε έξι κύκλους εσωτερικά του εξαγώνου, ώστε κάθε ένας από αυτούς να εφάπτεται του κύκλου που είχε τοποθετηθεί αρχικά στην κορυφή και των δύο κύκλων που βρίσκονται εκατέρωθεν αυτού. Αυτό μπορεί να γίνει γιατί τα κέντρα των τεσσάρων αυτών κύκλων σχηματίζου ρόμβο με γωνία 120 μοιρών που ισούται με την γωνία του κανονικού εξαγώνου. Έτσι έχουμε 24(=6+12+6) ίσους κύκλους που καθένας εφάπτεται ακριβώς με τρεις άλλους κύκλους.

6 σχόλια:

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Χωρίζω τους 24 κύκλους ανά 4 (δημιουργώ έτσι 6 τετράδες)
Με κάθε τέσσερις κύκλους φτιάχνω σχηματισμούς, κάτι σαν σταυρούς .
Εφάπτω τους 2 από τους 4 και τους άλλους 2 τους εφάπτω στους 2 ήδη εφαπτόμενους κύκλους, ένθεν και ένθεν (έναν από την μία μεριά των 2 εφαπτόμενων και τον άλλο από την άλλη μεριά)
(Διευκρίνηση τα κέντρα των 2 πρώτων που εφάπτονται απέχουν 2ρ, όπου ρ η ακτίνα των κύκλων και τα κέντρα των άλλων 2 που εφάπτονται σε αυτούς απέχουν απόσταση 2ρ*ρίζα(3)
Κατ αυτόν τον τρόπο φτιάχνω και τις άλλες 5 τετράδες. Σύνολο 6 τετράδες.
Κατόπιν ενώνω, εφάπτω, αυτούς τους σχηματισμούς εφάπτοντας τους κύκλους που τα κέντρα τους απέχουν απόσταση 2ρ*ρίζα(3) ανά 2 μέχρι να κλείσει τελείως ο μεγάλος σχηματισμός, μέχρι να ακουμπήσει ο τελευταίος κύκλος στον 1ο, δημιουργώντας έτσι κάτι σαν μεγάλο κύκλο ή καλύτερα κάτι σαν κανονικό εξάγωνο.
Με αυτόν τον σχηματισμό ο κάθε κύκλος εφάπτεται σε ακριβώς τρεις άλλους κύκλους.

Nikos Lentzos είπε...

Ναι.
Ας πάρουμε ένα κανονικό εξάγωνο του οποίου η πλευρά λ έχει μήκος, όσο το μήκος έξι ακτίνων, δηλ λ=6R (R η ακτίνα των ίσων κύκλων).
Αρχικά τοποθετούμε τους έξι κύκλους στις κορυφές του εξαγώνου, ώστε το κέντρο τους να συμπίπτει με τις κορυφές αυτού.
Στη συνέχεια τοποθετούμε δύο κύκλους σε κάθε πλευρά, τον έναν δίπλα στον άλλο, ανάμεσα στους κύκλους που έχουν τοποθετηθεί στις κορυφές, ετσι ώστε τα κέντρα τους να βρίσκονται πάνω στις πλευρές του εξαγώνου. Οι δώδεκα αυτοί κύκλοι και οι έξι που τοποθετήθηκαν αρχικά (σύνολο 18) σχηματίζουν μια (κλειστή) αλυσίδα και προφανώς κάθε ένας εφάπτεται με τους δύο γειτονικούς του.
Τέλος τοποθετούμε έξι κύκλους εσωτερικά του εξαγώνου, ώστε κάθε ένας από αυτούς να εφάπτεται του κύκλου που είχε τοποθετηθεί αρχικά στην κορυφή και των δύο κύκλων που βρίσκονται εκατέρωθεν αυτού.
Αυτό μπορεί να γίνει γιατί τα κέντρα των τεσσάρων αυτών κύκλων σχηματίζου ρόμβο με γωνία 120 μοιρών που ισούται με την γωνία του κανονικού εξαγώνου.
Έτσι έχουμε 24(=6+12+6) ίσους κύκλους που καθένας εφάπτεται ακριβώς με τρεις άλλους κύκλους.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Συγχαρητήρια κ. Λέντζο για την γεωμετρική σαφήνεια της περιγραφής του σχήματος και επί τη ευκαιρία να σας ευχαριστήσω για την παρέμβασή σας
στο "2013 ημέρες, ώρες, λεπτά, δευτερόλεπτα", παρά την δύσκολη θέση που βρεθήκατε, και ιδιαίτερα που πήρατε θέση για το ποια ημερομηνία είναι η σωστή (Το ερώτημα ήταν, προφανώς, προς τον κ. Κάρλο.)
Σας τιμά ιδιαίτερα!

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ και Nikos Lentzos
Οι απαντήσεις είναι σωστές και ειδικά του κ. Λέντζου.

ΕΑΛΕΞΙΟΥ είπε...

Εννοείτε, προφανώς, κ. Κάρλο όσον αφορά την περιγραφή του σχηματισμού,
γιατί κατά τα άλλα είναι ακριβώς ο ίδιος σχηματισμός!

Papaveri είπε...

@ΕΑΛΕΞΙΟΥ
Ναι, αυτό ακριβώς λέω. Απλώς με τη λέξη "ειδικά" τονίζω τη περιγραφή που έκσνε για τη λύση ο κ. Λέντζος, όπως κι' εσείς γράψατε στο σχόλιό σας.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes