Το Τετράγωνο

 

Εν έτη 1225, ο αυτοκράτορας Φρειδερίκος ο 2^ος  Χοχενστάουφεν (1194-1250) ταξίδεψε μέχρι την Πίζα της Ιταλίας  συνοδευόμενος από  ένα επιτελείο διακεκριμένων μαθηματικών της εποχής , να διαπιστώσει ιδίοις όμμασι , αν ο Leonardo  Fibonacci ήταν αντάξιος της φήμης του. Τον υπέβαλλε λοιπόν σε μια δημόσια μαθηματική  εξέταση. Ο Fibonacci  με ευκολία έλυσε κάθε πρόβλημα που του τέθηκε  και δικαίωσε την μαθηματική του φήμη. Ένα από τα προβλήματα αυτού του διαγωνίσματος, ήταν το εξής :

« Να βρεθεί ένα τέλειο τετράγωνο , τέτοιο ώστε , είτε αφαιρέσουμε 5 μονάδες, είτε προσθέσουμε 5 μονάδες να παραμένει τέλειο τετράγωνο.» (Κατ.1/Νο.134)

Πηγή:http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/08/fibonacci.html

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Έστω α^2 το ζητούμενο τετράγωνο. Θα διακρίνω δύο περιπτώσεις: α)Την περίπτωση να προσθέσω το 5 και να προκύπτει τέλειο τετράγωνο, έστω το β^2. Έχω α^2+5=β^2 ή ισοδύναμα: α^2+5=β^2 --> α^2-β^2= -5 ---> (α-β)*(α+β)= -5 ---> (β-α)*(β+α)=1*5, ή οποία για τους φυσικούς αριθμούς είναι ισοδύναμη με το σύστημα β-α=1 και β+α=5 και με προφανή λύση β=3 και α=2. Οπότε το ζητούμενο τετράγωνο είναι: α^2+5=β^2 --> 2^2+5=3^2 --> 4+5=9 β)Την περίπτωση να αφαιρέσω το 5 και να προκύπτει τέλειο τετράγωνο, έστω το γ^2. Έχω α^2-5=γ^2 ή ισοδύναμα: α^2-5=γ^2 --> α^2-γ^2=5 ---> (α-γ)*(α+γ)=1*5, ή οποία για τους φυσικούς αριθμούς είναι ισοδύναμη με το σύστημα α-γ=1 και α+γ=5 και με προφανή λύση α=3 και γ=2. Οπότε το ζητούμενο τετράγωνο είναι: α^2-5=γ^2 --> 3^2-5=2^2 --> 9-5=4 Λύση του G. N. Popov. Ο μαθηματικός και ιστορικός των μαθηματικών G. N. Popov, στο βιβλίο του «Ιστορικά Προβλήματα» (1932) παρουσιάζει μια λύση του προβλήματος, εικάζοντας τον τρόπο λύσης του Fibonacci. Έστω α^2 ο ζητούμενος αριθμός , τότε από υπόθεση θα ισχύει: α^2+5=β^2, α^2-5=γ^2 Αφαιρούμε κατά μέλη : Και προκύπτει: β^2 – γ^2 = 10 Αλλά ο αριθμός 10 γράφεται:10=(80x18)/12^2,όμως β^2–γ^2=(β-γ)*(β+γ) (Ταυτότητα διαφοράς τετράγωνων) (β-γ)*(β+γ)=(80x18)/12^2 -->(β-γ)*(β+γ)=(80/12)x(18/12) --> β-γ =18/12, β+γ =80/12 Λύνοντας το σύστημα έχουμε : β=49/12, γ=31/12 Άρα α^2=(1681/144)=(41/12)^2 Πραγματικά επαληθεύοντας ,προκύπτει: (1681/144)+5= 2401/144=(49/12)^2, (1681/144)-5= 961/144=(31/12)^2 Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Να προτείνω και μια φανταστική λύση (την οποία βέβαια αποκλείω να έδωσε ο Λεονάρντο της Πίζας ,γιος του Μπονάτσι).Το 4 4=2^2 , 4+5=9 και 4-5=-1=i^2