Ο Αριθμός

Έχετε μία στοίβα από 1.000 φύλλα "Α4"  πάνω στο γραφείο σας. Το καθένα  έχει πάνω έναν αριθμό, το πρώτο, επάνω-επάνω, έχει το αριθμό 1, το δεύτερο τον αριθμό  2,..., το χιλιοστό τον αριθμό 1.000. Ξεκινώντας από το πρώτο φύλλο θα πρέπει να αφαιρείτε κάθε δεύτερο φύλλο από τη στοίβα αυτή έως ότου να φτάσετε στο τέλος τη στοίβας (δηλαδή, το 1, 3, 5, ..., 997, 999). Κάντε την ίδια διαδικασία μέχρι να σας τελειώσουν όλα τα φύλλα εκτός από ένα. Ποιον αριθμό θα έχει  γραμμένο το φύλλο αυτό;

(Κατ.4/Πρβλ. Νο.48)

Λύση

Λύση του N. Lntzs. Το φύλλο που θα μείνει τελευταίο θα έχει τον αριθμό 512. Αυτό θα συμβεί γιατί το πρώτο φύλο της στοίβας θα έχει πάνω γραμμένο τον αριθμό 2^κ, όπου κ είναι ο αριθμός που μας δείχνει πόσες φορές επαναλήφτηκε η διαδικασία του "...να αφαιρείτε κάθε δεύτερο φύλλο από τη στοίβα...". Η δύναμη του δύο, που είναι μικρότερη ή ίση του 1.000 είναι ο αριθμός 512 και η διαδικασία επαναλήφθηκε 9 φορές(2^9=512). Πιο πρακτικά: Μετά την 1η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 2(=2^1). Μετά την 2η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 4(=2^2). Μετά την 3η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 8(=2^3). κ.ο.κ. Μετά την 8η διαδικασία θα παραμείνουν τα πολ/σια του 256(=2^8) δηλ.256, 512,778. Και τέλος μετά την 9η διαδικασία θα παραμείνει το μοναδικό πολ/σιο του 512(=2^9) δηλ. το φύλλο με τον αριθμό 512.