Τουρνουά Σκακιού

Σ' ένα τουρνουά σκακιού συμμετείχαν 8 σκακιστές καθένας από τους οποίους έπαιξε 1 αγώνα με καθένα από τους υπόλοιπους. Μετά το πέρας της διαδικασίας ο κάθε σκακιστής συγκέντρωσε διαφορετικό σύνολο βαθμών. Ο σκακιστής που έλαβε τη 2η θέση είχε όσους βαθμούς είχαν οι τέσσερις τελευταίοι μαζί. Ποιος από τους σκακιστές που κατέλαβαν την 4η και την 5η θέση νίκησε στον μεταξύ τους αγώνα? (Κατ.27/Πρβλ. Νο.331)

Διευκρίνιση:

Νίκη=1 βαθμός.

Ισοπαλία=1/2, ο καθένας.

Λύση

Λύση του batman1986. Oι συνολικοί βαθμοί που θα μοιραστούν ανεξαρτήτως ποια είναι τα αποτελέσματα μεταξύ των σκακιστών είναι στάνταρ 28.Ορίστε πως μπορούν να διανεμηθούν ξεκινώντας από τον 1ο(7 βαθμοί) μέχρι τον τελευταίο(0 βαθμοί)7+6+5+4+3+2+1+0=28(οπότε στέκει αυτή η βαθμολόγηση λόγω αθροίσματος 28 αλλά και λόγω του γεγονότος ότι όλοι έχουν διαφορετικό σύνολο βαθμών μεταξύ τους). Η παραπάνω βαθμολόγηση προυποθέτει μόνο νίκες-ήττες και καθόλου ισοπαλίες(δεν είναι η μοναδική εφικτή).Υπάρχει και η πιθανότητα ισοπαλιών.Αν γίνει μία ισοπαλία μονάχα τότε δεν γίνεται μεταξύ 4ου και 5ου παίχτη αφού θα έχουν και οι 2 3,5 βαθμούς άρα άτοπο. Η ισοπαλία αναγκαστικά γίνεται με άλλο συνδυασμό και σ αυτή την περίπτωση ο 4ος αναγκαστικά έχει κερδίσει το παιχνίδι με τον 5ο. Αν γίνουν 2 ισοπαλίες με κάποιους άλλους και έχει χάσει το παιχνίδι με τον 5ο τότε ο 5ος αναγκαστικά τους 3 βαθμούς που έχει τους πήρε νικώντας τον 4ο και 2 από τους 3 τελευταίος. Άρα κάποιος από τους 3 τελευταίους θα έπρεπε να είχε 1 βαθμό παραπάνω λόγω νίκης του με τον 5ο.Όμως έτσι θα ισοβαθμούσε με κάποιον άλλο άρα άτοπο. Οπότε η μόνη δυνατότητα είναι ο 4ος να νίκησε τον 5ο στο μεταξύ τους παιχνίδι.Αυτό ισχύει γενικά για ζευγάρια αντιπάλων διαδοχικών θέσεων και προφανώς με τη λύση ου προτείνω τηρείται η εκφώνηση 6(1ος)=3+2+1+0(4 τελευταίοι). Λύση του Papaveri. Ο τέταρτος νίκησε τον πέμπτο. Οι τέσσερις τελευταίοι έπαιξαν μεταξύ τους 6 παιχνίδια των οποίων οι βαθμοί μοιράστηκαν σε αυτούς. Οπότε οι τέσσερις τελευταίοι έχουν τουλάχιστον 6 βαθμούς συνολικά με αποτέλεσμα και ο 2ος να έχει τουλάχιστον 6 βαθμούς. Από την άλλη ο 2ος δεν μπορεί να έχει παραπάνω από 6 βαθμούς: Αν ο νικητής έχει 7 βαθμούς τότε τους νίκησε όλους άρα ο 2ος έλαβε το πολύ 6 βαθμούς. Αν ο νικητής έλαβε 6.5 βαθμούς επίσης ο 2ος δεν μπορεί να συγκέντρωσε παραπάνω από 6 βαθμούς. Συνεπώς ο 2ος έχει ακριβώς 6 βαθμούς. Που σημαίνει ότι και οι τέσσερις τελευταίοι έχουν ακριβώς 6 βαθμούς, τους οποίους όμως, όπως δείξαμε παραπάνω, συγκέντρωσαν από τα μεταξύ τους παιχνίδια. Συμπερασματικά κανένας από τους τέσσερις τελευταίους δεν κέρδισε(ούτε έφερε ισοπαλία) κανένα από τους σκακιστές που έλαβαν τις θέσεις 1η έως 4η.