Η Ένδειξη

Στα τρία δοχεία της ανωτέρω εικόνας υπάρχει η ίδια ποσότητα νερού. Ποια θα ήταν η ένδειξη στο τέταρτο δοχείο, εάν υπήρχαν μόνο δύο μικρές
σφαίρες? (Κατ.9Α΄/Πρβλ. Νο.12)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.com/2011/06/blog-post_816.html

Λύση

Με δύο μικρές σφαίρες η ένδειξη στο δοχείο θα ήταν 150ml. Έστω «α»
ο όγκος στη μεγάλη σφαίρα, «β» ο όγκος στη μεσαία σφαίρα και «γ» ο
όγκος στη μικρή σφαίρα. Βάση των δεδομένων του προβλήματος θα έχουμε:
α+β+γ=210 (1)
α+2β+γ=240(2)
2γ+β=180 (3)
Από τη (3) συνάγουμε ότι:
2γ+β=180 --> β=180-2γ (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
α+2β+γ=240 --> α+2(180-2γ)+γ=240 --> α+360-4γ+γ=240 -->
α-3γ=240-360 --> α-3γ=-120 --> α=3γ-120 (5)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (4) και (5) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=210 --> 3γ-120+180-2γ+γ=210 --> 4γ-2γ=210+120-180 -->
2γ=330-180 --> 2γ=150 --> γ= 150/2 γ=75ml (6)
Αντικαθιστούμε τη τιμή (6) στις (4) και (5) αντίστοιχα κι’ έχουμε:
β=180-2γ --> β=180-(2*75) --> β=180-150 --> β=30ml (7)
α=3γ-120 --> α=(3*75)-120 --> α=225-120 --> α=105ml (8)
Επαλήθευση:
α+β+γ=210 --> 105+30+75=210
α+2β+γ=240 --> 105+(2*30)+75=240 --> 105+60+75=240
2γ+β=180 --> (2*75)+30=180 --> 150+30=180 ο.ε.δ.
Λύση του batman1986.
Έστω "v" ο όγκος του υγρού και "z" της μεγάλης μπάλας "y" της μεσαίας
και "χ" της μικρής(όλα σε ml).
Έχουμε 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους.
v+x+y+z=210 (1)
v+x+2y+z=240 (2)
v+2x+y=180 (3)
Εδώ το ζητούμενο είναι το v+2χ(2 μικρές μπάλες).
Αφιαρούμε τις 2 πρώτες ("2"-"1") κατά μέλη και έχουμε:
v+x+2y+z=240
-v-x-y-z=-210
y=30ml (4)
Οπότε η(3) γίνεται:
v+2x+y=180 --> v+2x+30=180 --> v+2x=180-30 --> v+2x=150ml η ένδειξη.