Παρασκευή, 27 Ιανουαρίου 2012

Η επιγραφή

Οι αρχαιολόγοι κατά την ανασκαφή σε κάποια περιοχή της Αραβίας ανακάλυψαν μια πήλινη επιγραφή στην οποία ήταν χαραγμένο τοπαρακάτω μαγικό τετράγωνο με τους αριθμούς και τα γράμματα,
 όπου το γινόμενο κάθε γραμμής, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου είναι το ίδιο , ο αριθμός (ΑΒΓΔ). Σε κάθε γράμμα αντιστοιχεί ένας μοναδικός ακέραιος μονοψήφιος θετικός αριθμός. Δυστυχώς, όμως, σε μερικά κελιά του τετραγώνου οι αριθμοί είχαν σβηστεί, αλλά οι αρχαιολόγοι μπόρεσαν να αντιστοιχίσουν σωστά τα γράμματα με τους αριθμούς και να συμπληρώσουν τον πίνακα. Εσείς μπορείτε να βρείτε τους υπόλοιπους αριθμούς;
Από το βιβλίο του  Αλί Νταρ Νασάθ με τίτλο "Προβλήματα για δύσκολες ώρες"
Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.com/2012/01/blog-post_27.html

Λύση

Το γινόμενο οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως μας δίδει τη Μαγική Σταθερά 1.728. Ο αριθμός ΑΓ γράφεται: ΑΓ=10*Α+Γ (1) και έστω Χ η τιμή του κελιού κάτω αριστερά έτσι το γινόμενο της τρίτης γραμμής ισούται με το γινόμενο της διαγωνίου. Άρα 24*Γ*Χ=4(10*Α+Γ)*Χ --> 24*Γ*Χ=40*Α*Χ+4*Γ*Χ --> 24*Γ*Χ-4*Γ*Χ=40*Α*Χ -->
20*Γ*Χ=40*Α*Χ --> Γ=(40*Α*Χ)/20*Χ --> Γ=2Α.
Έστω Ζ η τιμή του κελιού πάνω αριστερά και Υ η τιμή του μεσαίου κελιού της πρώτης γραμμής θα έχουμε:
4*Υ*Z=24*(10Α+Γ)*Z --> 4*Υ*Z=24*(10Α+2Α)*Z -->
4*Υ*Z=24*12Α*Ζ --> 4*Υ*Z=288*Α*Ζ -->
Υ=(288*Α*Ζ)/4*Ζ --> Υ=72*Α
Το γινόμενο των αριθμών της δεύτερης στήλης είναι:
Υ*Α*Γ*Γ=72*Α*12*Α*2*Α=1.728*Α3
Ο αριθμός 1.728*Α3 είναι ένας τετραψήφιος ακέραιος αριθμός. Δίδοντας στο Α τις τιμές από το 1 έως το 9 βλέπουμε ότι ο μόνος αριθμός που ικανοποιεί τη συνθήκη είναι Α=1. Αντικαθιστούμε τη τιμή Α κι’ έχουμε: 1.728*Α3 -->
1.728*13 --> 1.728*1 --> 1.728.
Και το τετράγωνο συμπληρώνεται ως εξής:
Πρώτη οριζόντια γραμμή:
Ζ=1.728/4*Υ --> Ζ=1.728/4*72*Α --> Ζ=1.728/4*72*1 -->
Ζ=1.728/288 --> Ζ=6
Τρίτη οριζόντια γραμμή:
Χ=1.728/24*Γ --> Χ=1.728/2*Α*24 --> Χ=1.728/2*1*24 -->
Χ=1.728/48 --> Χ=36
Πρώτη κάθετη στήλη:
1.728/Ζ*Χ=1.728/6*36=1.728/216=8
Τρίτη κάθετη στήλη:
1.728/4*24=1.728/96=18

Λύση batman1986
:
Θα γράψω τον πίνακα (χωρίζοντας τα κελιά με τελείες)
Ω..Κ...4
Ζ..ΑΓ..Χ
Υ.. Γ..24
Συμπληρώνω όλα τα κελιά με τις παραπάνω μεταβλητές
Γράφουμε τον αριθμό ΑΓ σε μορφή μονάδων και 10άδων δηλαδή
ΑΓ=10*Α+Γ
Αν παρατηρήσουμε τον πίνακα θα δούμε ότι μπορούμε να βρούμε μία σχέση
μεταξύ Α και Γ με τη βοήθεια της γραμμής
Υ-Γ-24 και της διαγωνίου Υ-ΑΓ-4(λόγω πολ/σμού απαλείφεται το Υ το οποίο προφανώς είναι διάφορο του μηδενός...)
24*Γ*Υ=4(10*Α+Γ)Υ
Άρα προκύπτει Γ=2*Α
Oμοίως για αντισυμμετρική περίπτωση βρίσκουμε την ισότητα
Ω*Κ*4=Ω(Α*10+Γ)*24(απαλείφεται το μη μηδενικό Ω)
Αρα Κ=72*Α
Επειδή έχω βρει και το Κ συναρτήσει του Α
τότε βρίσκω το γινόμενο της 2ης στήλης(θα προκύψει αριθμός συναρτήσει του Α)
Κ*ΑΓ*Γ=72*Α(10*Α+2*Α)*2*Α=1728*Α^3
Επειδή το αποτέλεσμα είναι τετραψήφιος ΑΒΓΔ πρέπει Α=1
Άρα αυτός ο αριθμός είναι ο 1728
Και με αντικαταστάσεις προκύπτει
Ω=6..Κ=72...4
Ζ=8..ΑΓ=12..Χ=18
Υ=36.. Γ=2..24

9 σχόλια:

batman1986 είπε...

Θα γράψω τον πίνακα (χωρίζοντας τα κελιά με τελείες)

Ω..Κ...4
Ζ..ΑΓ..Χ
Υ.. Γ..24

Συμπληρώνω όλα τα κελιά με τις παραπάνω μεταβλητές

Γράφουμε τον αριθμό ΑΓ σε μορφή μονάδων και 10άδων δηλαδή

ΑΓ=10*Α+Γ

Αν παρατηρήσουμε τον πίνακα θα δούμε ότι μπορούμε να βρούμε μία σχέση μεταξύ Α και Γ με τη βοήθεια της γραμμής

Υ-Γ-24 και της διαγωνίου Υ-ΑΓ-4(λόγω πολ/σμού απαλείφεται το Υ το οποίο προφανώς είναι διάφορο του μηδενός...)

24*Γ*Υ=4(10*Α+Γ)Υ

Άρα προκύπτει Γ=2*Α

Oμοίως για αντισυμμετρική περίπτωση βρίσκουμε την ισότητα

Ω*Κ*4=Ω(Α*10+Γ)*24(απαλείφεται το μη μηδενικό Ω)

Αρα Κ=72*Α

Επειδή έχω βρει και το Κ συναρτήσει του Α

τότε βρίσκω το γινόμενο της 2ης στήλης(θα προκύψει αριθμός συναρτήσει του Α)

Κ*ΑΓ*Γ=72*Α(10*Α+2*Α)*2*Α=1728*Α^3

Επειδή το αποτέλεσμα είναι τετραψήφιος ΑΒΓΔ πρέπει Α=1

Άρα αυτός ο αριθμός είναι ο 1728

Και με αντικαταστάσεις προκύπτει

Ω=6..Κ=72...4
Ζ=8..ΑΓ=12..Χ=18
Υ=36.. Γ=2..24

Papaveri είπε...

@batman1986
Μπράβο!! Η απάντησή σου είναι σωστή.
Το γρίφο τον είδες στα Μαθη-Μαγικά;

batman1986 είπε...

Όχι γιατί?Απλά έριξα μια ματιά σε παλαιότερους γρίφους που έβαλες στα μαγικά τετράγωνα...

Ανώνυμος είπε...

Κακώς οι αρχαιολόγοι ασχολήθηκαν με την επιγραφή αυτή, δοθέντος ότι οι αριθμοί αυτοί (αραβικοί)και το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης είναι μεταγενέστερο. Στην αρχαία Ελλάδα (και αργότερα στην Ρωμαική εποχή) χρησημοποιούσαν το προσθεσιακό σύστημα με πρόσθεση των ψηφίων που αποτελούσαν τον "αριθμό" και σαν ψηφία μόνο τα γράμματα του αλφαβήτου.
Η πύλινη πινακίδα δεν είχε συνεπώς καμία αξία.
Σαν σποζοκεφαλια λοιπόν δεν έχω να προσθέσω περισσότερα από την λύση που πολύ καλά ανέπτυξε ο φίλος batman.
N.Lntzs

Papaveri είπε...

@N.Lntzs
Πολύ σωστά Νίκο.

batman1986 είπε...

@N.Lntzs

Σωστά!Θα μπορούσε να εκφραστεί ως 2 γρίφοι σε έναν με 1 δεύτερο ερώτημα!

Papaveri είπε...

@batman1986
Διότι το αντέγραψα απο τα Μαθη-Μαγικά.

batman1986 είπε...

Έχω μπει σ αυτό το μπλογκ κανά 2 φορές για να παρακολουθήσω βιντεάκια που ανεβάζει.Δεν έχω σχοληθεί με γρίφους του(δεν μπορώ να προλαβαίνω τα πάντα!)

batman1986 είπε...

Α τώρα που θυμάμαι είχα τσεκάρει μόνο έναν απίστευτα δύσκολο από κει και δεν τον είχα βρει.Ήταν σε διαγωνισμό γρίφων!Θα στο στείλω κάποια στιγμή.Δύσκολα πάει το μυαλό σου!

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes