Σάββατο, 21 Ιανουαρίου 2012

Οι Σελίδες

 Κατά την ολοκλήρωση της εκτύπωσης ενός βιβλίου Άλγεβρας,  ο συγγραφέας είδε ότι για την αρίθμηση των σελίδων χρησιμοποιήθηκαν 2989 ψηφία. Πόσες σελίδες είχε το βιβλίο;
(Κατ.27/Πρβλ. Νο.326)
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2011/12/blog-post_8444.html

Λύση

Η Λύση του batman1986:
Η λογική είναι να ελέγξω τι γίνεται σε κάθε ομάδα αριθμών με ίδια
ψηφία και να τους αθροίσω προσπαθώντας να φτάσω στο ζητούμενο.Έτσι
θα καταλάβουμε τον αριθμό των σελίδων...
Από σελ.1 εώς 9 χρησιμοποιούνται 9 ψηφία, άρα 1*9=9 ψηφία.
Από σελ. 10 εώς 99 χρησιμοποιούνται 90 ψηφία, άρα 90*2=180 ψηφία.
Από σελ. 100 εώς 999 χρησιμοποιούνται 900 ψηφία άρα 900*3=2.700 ψηφία
Εώς τώρα τα συνολικά ψηφία για 999 σελίδες είναι:
9+180+2.700=2.889 ψηφία
Άρα μας απομένουν 100 ψηφία
Αυτά αντιστοιχούν σε τετραψήφιους αριθμούς αφού η επόμενη σελίδα
του 999 είναι η 1.000, άρα μας απομένουν 100/4=25 σελίδες.
Άρα σύνολο έχουμε 999+25=1.024 σελίδες

5 σχόλια:

batman1986 είπε...

Επειδή δν έχω κομπιουτεράκι και έκανα τις πράξεις στο μυαλό μου πες μου αν μου ξέφυγε κανα λάθος

Η λογική είναι να ελέγξω τι γίνεται σε κάθε ομάδα αριθμών με ίδια ψηφία και να τους αθροίσω προσπαθώντας να φτάσω στο ζητούμενο.Έτσι θα καταλάβουμε τον αριθμό των σελίδων...

Από σελ.1 εώς 9 χρησιμοποιούνται 1*9=9 ψηφία

Από σελ. 10 εώς 99 χρησιμοποιούνται

90*2=180 ψηφία

Από σελ. 100 εώς 999 χρησιμοποιούνται 900 ψηφία άρα 900*3=2700

Εώς τώρα τα συνολικά ψηφία για 999 σελίδες είναι

9+180+2700=2889 ψηφία

Άρα μας απομένουν 100 ψηφία

Αυτά αντιστοιχούν σε τετραψήφιους αριθμούς αφού η επόμενη σελίδα του 999 είναι η 1000 άρα μας απομένουν 100/4=25 σελίδες

Άρα σύνολο έχουμε 999+25=1024 σελίδες

Papaveri είπε...

@batman1986
Πολύ σωστός. Μπράβο!!

Ανώνυμος είπε...

Το πλήθος των ψηφίων που απαιτούνται για να αριθμηθούν
α) οι 9 μονοψήφιοι αριθμοί από το 1 έως το 9 είναι: 9*1=9.
β) οι 90 διψήφιοι αριθμοί από το 10 έως το 99 είναι: 90*2=180.
γ) οι 900 τριψήφιοι αριθμοί από το 100 έως το 999 είναι: 900*3=2700.
Για την αρίθμηση λοιπόν του βιβλίου μέχρι και την σελίδα 999, χρησιμοποιήθηκαν 9+180+2700=2889 ψηφία. Τα υπόλοιπα 100 ψηφία (=2989-2889) χρησιμοποιήθηκαν για την αρίθμηση των σελίδων που έφεραν τετραψήφιο αριθμό και προφανώς ήταν 25(=100/4) σελίδες.
Ο εικοστός πέμπτος κατά σειρά τετραψήφιος είναι ο 1024.
Άρα το βιβλίο είχε 1024 σελίδες.
Τυχαίο δεν νομίζω.

Ο συγγραφέας του (ως μαθηματικός) επέλεξε να έχει αυτό 1024 σελίδες, γιατί ο αριθμός 1024 έχει αρκετές ιδιότητες.
Στο δυαδικό σύστημα (βάση το 2) γράφεται: 10000000000
Στο επταδικό σύστημα(βάση το 7) γράφεται : 2662
Στο οκταδικό σύστημα(βάση το 8) γράφεται: 2000
Στο δεκαεξαδικό σύστημα(βάση το 16) γράφεται: 400
Μην ξεχάσουμε την ελληνική γραφή του: ,ακδ΄
Η παραγοντοποίησή του είναι:
1024 = 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
Γράφεται υπό μορφή δύναμης:
1024=2^10
1024 = 4^5
1024 = 32^2
Είναι το άθροισμα των 32 πρώτων στη σειρά περριτών αριθμών:
1024=1+3+5+7+…+63
Έχει 11 διαιρέτες όλους δυνάμεις του 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
Το άθροισμα όλων των διαιρετών του (εκτός του εαυτού του) είναι: 1023 (παρ ολίγον τέλειος. Σημ. Ένας αριθμός ονομάζεται τέλειος αν είναι ίσος µε το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του).
Είναι όμως τέλειο τετράγωνο (1024 = 32^2).
Γράφεται ως διαφορά τετραγώνων:
1024 = 402 - 242 = 682 - 602 = 1302 - 1262 = 2572 - 2552
Στο επταδικό σύστημα αρίθμησης (=2662) είναι παλινδρομικός διαβάζεται δηλ. και ανάποδα.
Δεν είναι πρώτος, αλλά βρίσκεται μεταξύ των 1021 και 1031 που είναι πρώτοι.
Ο 1024 ος πρώτος αριθμός είναι ο : 8161.
Νομίζω ότι ο λόγος που επέλεξε ο συγγραφέας να έχει το βιβλίο της Άλγεβρας 1024 σελίδες είναι δικαιολογημένος.

Ν.Lntzs

Ανώνυμος είπε...

Βλέπω ότι ήλθα δεύτερος και καταϊδρωμένος.
Ο batman1986 ως νεώτερος έφτασε πρώτος στο τέρμα, και η λύση που έδωσα δεν διαφέρει καθόλου από την δική του.
Ν.Lntzs

Papaveri είπε...

@Ν.Lntzs
Πολύ ωραία και τεκμηριωμένη η λύση σου. Μη ξεχνάς τα νιάτα δεν μπορούμε να τα συναγωνιστούμε ως προς τη ταχύτητα παρά μόνο ως προς τη σοφία και τη γνώση.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes