Πέμπτη, 12 Ιανουαρίου 2012

Ένας Αριθμός με Πέντε Ιδιότητες!!

Ένας αριθμός αποτελείται από τέσσερα ψηφία που παρουσιάζουν τις εξής ιδιότητες:
•    Το άθροισμα των τεσσάρων ψηφίων του ισούται με 18.
•    Το 1ο το 2ο και το 4ο ψηφίο αθροιζόμενα μας δίδουν το 3ο ψηφίο.
•    Το 1ο ψηφίο ισούται με το διπλάσιο του 2ου ψηφίου.
•    Το 3ο ψηφίο ισούται με το τριπλάσιο του 4ου ψηφίου.
•    Το 1ο και το 2ο ψηφίο αθροιζόμενα μα δίδουν το 1/3 του συνόλου των ψηφίων.
    Ποιος είναι αυτός ο παράξενος  αριθμός; (Κατ.1/Πρβλ. Νο.10)

Λύση

Ο αριθμός είναι ο 4.293. Έστω α, β. γ, και δ τα ψηφία που απαρτίζουν τον αριθμό. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ+δ=18(1)
α+β+δ=γ (2)
α=2*β (3)
γ=3*δ (4)
α+β=1/3*(α+β+γ+δ)(5)
Από τη (5) συνάγουμε ότι:
α+β=1/3*(α+β+γ+δ)= 1/3*18=6 --> α+β=6 (6)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι έχουμε:
α+β+γ+δ=18 --> γ+γ=18 --> 2γ=18 --> γ=18/2=9 --> γ=9 (7)
Αντικαθιστούμε τη (7) στη (4) κι έχουμε:
γ=3*δ --> 9=3*δ --> δ=9/3=3 --> δ=3 (8)
Αντικαθιστούμε τη (3) στην (6) κι’ έχουμε:
α+β=6 --> 2*β+β=6 --> 3β=6 --> β=6/3=2 --> β=2 (9)
Αντικαθιστούμε την (9) στη (3) κι έχουμε:
α=2*β=2*2=4 --> α=4 (10)
Αντικαθιστούμε τις τιμές των στην (10), (9), (7), και (8) στις (1), (2),
(3), (4), και (5) κι έχουμε:
α+β+γ+δ=18 --> 4+2+9+3=18
α+β+δ=γ --> 4+2+3=9
α=2*β --> 4=2*2
γ=3*δ --> 9=3*3
α+β=1/3*(α+β+γ+δ) --> 4+2=1/3*(4+2+9+3)--> 6=18/3 ο.ε.δ.
Λύση του Lntzs:
α)Λύση με απλούς συλλογισμούς.
Συνδυάζοντας την πρώτη και δεύτερη ιδιότητα βρίσκουμε το τρίτο ψηφίο, που ισούται με εννέα.
Από την τέταρτη βρίσκουμε το τέταρτο ψηφίο 9/3=3.
Το 1ο και το 2ο ψηφίο αθροιζόμενα μας δίδουν το 1/3 του συνόλου των ψηφίων δηλαδή 18/3=6
Από τη τρίτη ιδιότητα (Το 1ο ψηφίο ισούται με το διπλάσιο του 2ου ψηφίου) προκύπτει ότι το πρώτο είναι το τέσσερα και το δεύτερο το δύο.
Επομένως πρόκειται για τον αριθμό 4.293.
β)Αλγεβρική λύση.
Αν Α,Β,Γ,Δ είναι τα ψηφία του αριθμού σε σειρά θέσης τότε η κάθε ιδιότητα μεταφράζεται σε εξισώσεις ως κάτωθι:
Α+Β+Γ+Δ=18 (1)
Α+Β+Δ=Γ (2)
Α=2*Β (3)
Γ=3*Δ (4)
Α+Β=18/3 (5)
Το σύστημα αυτό πέντε εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους είναι συμβιβαστό.
Λύνω το σύστημα των 4/ρων πρώτων εξισώσεων με αντικατάσταση των (3) και (4) στην (1) και (2) και έχω:
3*Β+4Δ=18
3*Β-2*Δ=0
και με αφαίρεση κατά μέλη
6*Δ=18 ή Δ=3
και Β=2
Από (3)και (4): Α=4, Γ=9.
Οι αριθμοί αυτοί επαληθεύουν την εξίσωση (5).
Άρα ΑΒΓΔ=4293

2 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

α)Λύση με απλούς συλλογισμούς.
Συνδιάζοντας την πρώτη και δεύτερη ιδιότητα βρίσκουμε το τρίτο ψηφίο, που ισούται με εννέα.
Από την τέταρτη βρίσκουμε το τέταρτο ψηφίο 9/3=3.
Το 1ο και το 2ο ψηφίο αθροιζόμενα μας δίδουν το 1/3 του συνόλου των ψηφίων δηλαδή 18/3=6
Από τη τρίτη ιδιότητα (Το 1ο ψηφίο ισούται με το διπλάσιο του 2ου ψηφίου) προκύπτει ότι το πρώτο είναι το τέσσερα και το δεύτερο το δύο.
Επομένως πρόκειται για τον αριθμό 4293.

β) Αλγεβρική λύση.
Αν Α,Β,Γ,Δ είναι τα ψηφία του αριθμού σε σειρά θέσης τότε η κάθε ιδιότητα μεταφράζςται σε εξισώσεις ως κάτωθι:
Α+Β+Γ+Δ=18 (1)
Α+Β+Δ=Γ (2)
Α=2*Β (3)
Γ=3*Δ (4)
Α+Β=18/3 (5)
Το σύστημα αυτό πέντε εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους είναι συμβιβαστό.
Λύνω το σύστημα των 4/ρων πρώτων εξισώσεων με αντικατάσταση των (3) και (4) στην (1) και (2) καιέχω:
3*Β+4Δ=18
3*Β-2*Δ=0
και με αφαίρεση κατά μέλη
6*Δ=18 ή Δ=3
και Β=2
Από (3)και (4): Α=4, Γ=9.
Οι αριθμοί αυτοί απαληθεύουν την εξίσωση (5).
Άρα ΑΒΓΔ=4293

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:
Το πρόβλημα μπορούσε να λυθεί και με μία ιδιότητα (οποιαδήποτε) λιγότερη. Στην αλγεβρική λύση πχ. δεν χρησιμοποίησα την (5).

Ν.Lntzs

ΑΒΓΔ=4293

Papaveri είπε...

@Ν.Lntzs
Συμφωνώ μαζί σου, αλλά τη τελευταία ιδιότητα την έβαλα για πλήρη επιβεβαίωση του προβλήματαος.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes