Οι Διαδοχικοί Όροι

Οι τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί 

είναι όλοι τέλεια τετράγωνα και οι τετραγωνικές τους ρίζες είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρεθεί ο αριθμός "K". (Κατ.34/Νο.611)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2013/06/k_4.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Έστω δ ο λόγος της αρ.προοόδου. και "xi" oι όροι της. x---αντιστοιχώ στον μεσαίο όρο. Άρα ισχύει: 193+Κ=x^2 (1) 37+K =(x-δ)^2= x^2- 2*δ*x +δ^2 (2) 421+Κ =(x+δ)^2 = x^2+ 2*δ*x +δ^2 (3) (2)+(3) δίνει: 458+2K=2(x^2 + δ^2) ή 229+Κ = x^2 + δ^2 (4) από(1)και (4) έχουμε: δ^2=36 ...δ=6 (3)μείον(2) δίνει: δ*x=96 άρα x=96/6=16 (τετραγ. του 4) Aντικαθιστώντας στην (1) έχουμε: 193+K=16^2=256 K=63