Δευτέρα, 3 Ιουνίου 2013

Κορώνα ή Γραμματα;

Ρίχνουμε ένα κέρμα και φέρνουμε "γράμματα", το ξαναρίχνουμε και φέρνουμε πάλι "γράμματα", και ξανά "γράμματα" και ξανά τα ίδια. Αυτό επαναλαμβάνεται 500 φορές. Τη στιγμή αυτή μας ζητάνε να ποντάρουμε 100 ευρώ. Τι είναι προτιμότερο να ποντάρουμε, κορώνα ή γράμματα; (Κατ.27/Νο.353)

Λύση

Λύση του Ν. Λέντζου. Ότι και να ποντάρουμε είναιτο ίδιο. Και τα δύο ενδεχόμενα έχουν την ίδια πιθανότητα (1/2) ως ανεξάρτητα από τα προηγούμενα αποτελέσματα, υπό την προυπόθεση ότι το κέρμα είναι συμμετρικό-αμερόληπτο. Αλλά, τώρα που το σκέφτομαι, δοθέντος ότι δεν μας λέει ότι είναι αμερόληπτο, ίσως να είναι "πειραγμένο" θά ποντάριζα στα "γράμματα". Λύση του batman1986. Η πιθανοτητα να γίνει κάτι τέτοιο έιναι απειροελάχιστη άρα το κέρμα είναι μάλλον πειραγμένο.Άρα θα ποντάραμε γράμματα. Αν όμως κάτι τέτοιο είναι εντελώς θεωρητικό και "έτυχε"(λέμε τώρα!) τότε δεν έχει σημασία αφού αν το κέρμα είναι τίμιο(λέμε τώρα!!) κάθε ρίψη δεν εξαρτάται από την προηγούμενη.Όμως για να είμαστε ρεαλιστές θα ποντάρουμε γράμματα! Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το θέμα προσφέρεται για εμβάθυνση και άρση παρανοήσεων πολύ συνηθισμένων. Ούτε το "φυσικό" συμπέρασμα είναι τόσο φυσικό και εύκολο ,ειδικά στις Πιθανότητες και τη Στατιστική. Στα Μαθηματικά, δυστυχώς ή ευτυχώς, δεν υπάρχει "ολίγον έγκυος". Υπάρχει σωστό και λάθος. Και η εξήγηση "Η πιθανότητα να έρθουν 500 σερί γραμ είναι απειροελάχιστη" είναι απλά και ξεκάθαρα ΛΑΘΟΣ. Η εξήγηση (όπως λέω και στο προηγούμενο σχόλιο) είναι ότι το αποτέλεσμα αντιβαίνει την ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ, σύμφωνα με την οποία , με την αύξηση του αριθμού των φορών που επαναλαμβανουμε ένα πειραμα τύχης η ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ καθενός αποτελέσματος προσεγγίζει όλο και περισσότερο μια ορισμένη "κανονική" τιμη . Αυτό είναι ουσιαστικά με "λόγια" το θεμελιώδες "Θεώρημα μεγάλων αριθμών" του Μπερνούλι και αυτό (ΚΑΙ ΟΧΙ η μικρή πιθανότητα)εξηγεί γιατί είμαστε ΣΧΕΔΟΝ ΑΠΟΛΥΤΑ βέβαιοι(πρακτικά ΒΕΒΑΙΟΙ) ότι το νόμισμα είναι κάλπικο. Οποιαδήποτε σειρά 500 ρίψεων ,ακόμη και η πιο κοντινή στη θεωρητική (250Γ ,250Κ) έχει την ίδια πιθανότητα, αλλά η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ εμφάνισης είναι το κλειδί.

11 σχόλια:

Nikos Lentzos είπε...

Ότι και να ποντάρουμε είναιτο ίδιο.
Και τα δύο ενδεχόμενα έχουν την ίδια πιθανότητα (1/2) ως ανεξάρτητα από τα προηγούμενα αποτελέσματα, υπό την προυπόθεση ότι το κέρμα είναι συμμετρικό-αμερόληπτο.
Αλλά, τώρα που το σκέφτομαι, δοθέντος ότι δεν μας λέει ότι είναι αμερόληπτο, ίσως να είναι "πειραγμένο" θά ποντάριζα στα "γράμματα".

batman1986 είπε...

Η πιθανοτητα να γίνει κάτι τέτοιο έιναι απειροελάχιστη άρα το κέρμα είναι μάλλον πειραγμε΄νη.Άρα θα ποντάραμε γράμματα

Αν όμως κάτι τέτοιο είναι εντελώς θεωρητικό και "έτυχε"(λέμε τώρα) τότε δεν έχει σημασία αφού αν το κέρμα είναι τίμιο(λέμε τώρα!!) κάθε ρίψη δεν εξαρτάται από την προηγούμενη.Όμως για να είμαστε ρεαλιστές θα ποντάρουμς γράμματα!

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Η κάθε ρίψη ενός νομίσματος είναι ανεξάρτητο πιθανοτικά γεγονός και "δεν έχει μνήμη". Οπότε σε ένα τίμιο νόμισμα (p(κορ.)=p(γραμ.)=0,5) θα ήταν αδιάφορο πού να ποντάρουμε.
Αλλά η πιθανότητα να συμβεί σε ένα τίμιο νόμισμα να φέρει 500 σερί γράμματα είναι 0,5^500=3,055 *10^(-151) , αρκετά μικρότερη από την πιθανότητα αύριο το πρωί ο ήλιος να ανατείλει από τη δύση.
Άρα, το νόμισμα είναι ΠΙΘΑΝΟΤΑΤΑ πειραγμένο-μή τίμιο. Άρα ποντάρουμε στα γράμματα.

Papaveri είπε...

Πολύ σωστά απαντήσατε και οι τρεις. Μπράβο σας.

Ε.Θ.Α είπε...

το είχα στείλει στο ρέμπους
Ο/Η Ε.Θ.Α είπε...
Το πόσες φορές το ρίξαμε πρίν και τι ήρθε δεν παίζει κανένα ρόλο.
Έτσι αν το στρίψουμε στον αέρα η πιθανότητα είναι 50%-50% Κ-Γ.
Αν όμως το στρίψουμε σε οριζόντια και λεία επιφάνεια συμφέρει να επιλέξουμε
κεφάλι γιατί έχουμε μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσουμε περίπου 55%-45% Κ-Γ, λόγω διαφοράς κέντρου μάζας και κέντρου περιστροφής,ροπών και στροφορμών μάλλον κλπ.

3 Ιουνίου 2013 - 11:24 μ.μ.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

H αιτιολόγησή μου δεν ήταν και ό,τι καλύτερο. Μπορεί κάποιος (και θάχει δίκιο) να παρατηρήσει ότι ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ κατάσταση ΚΓΓΚΓΚ...Κ (ν=500) έχει πιθανότητα 3,055*10^(-151) και όχι μόνο η ΓΓΓ..Γ (500 γραμματα).
Η αιτιολόγηση βρίσκεται στο "Θέώρημα των μεγάλων αριθμών" του Μπερνούλι και ότι η συγκεκριμένη κατανομή δίνει πρακτικά τιμη ΕΚΤΟΣ καμπύλης κανονικής κατανομής (που ισχύει για κάθε δοκιμή Μπερνούλι διακριτων μεταβλητων Μ). Ακόμη και ένα αποτέλεσμα π.χ 350 Γ και 150 Κ δίνει σε ένα επίπεδο σημαντικότητας (εμπιστοσύνης)99,9% περίπου ΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ότι το νόμισμα έχει "προτίμηση" στα γράμματα. Στην περίπτωσή μας το διάστημα εμπιστοσύνης είναι της τάξης 99,9999999999999999...99% (58 9άρια) .

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

H λάθος αιτιολόγηση που έκανα αρχικά(σε μια έννοια μάλιστα που μου είναι απολύτως οικεία..) είναι χαρκτηριστικό σφάλμα που γίνεται συχνά στις πιθανότητες και αξίζει να προσεχθεί. Είναι η ίδιας φύση παρανόηση που γίνεται με το να πούμε ας πούμε "'σ ενα χαρτπαίγνιο η πιθανότητα να μοιραστού τα χαρτια και να πάρουν ο κάθε παικτης μεταξυ τεσσαρων, όλες τις κουπες, όλα τα σπαθιά,.κ.λ.π αντίστοιχα. Πιθανότητα απειροελάχιστη αλλά ΑΚΡΙΒΩΣ Η ΙΔΙΑ με το να πάρουν ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΑΛΛΗ χαρτωσιά!

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Το ζητούμενο είναι ότι βρήκες ότι είναι κάλπικο. Διότι το να έρθει 500 φορές γράμματα είναι υπερβαίνει του φυσικού αποτελέσματος.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Kάρλο, δεν είναι το θέμα αν βρήκα ή δεν βρήκα ότι είναι κάλπικο. Το θέμα προσφέρεται για εμβάθυνση και άρση παρανοήσεων πολύ συνηθισμένων.
Ούτε το "φυσικό" συμπέρασμα είναι τόσο φυσικό και εύκολο ,ειδικά στις Πιθανότητες και τη Στατιστική.
Στα Μαθηματικά, δυστυχώς ή ευτυχώς, δεν υπάρχει "ολίγον έγκυος". Υπάρχει σωστό και λάθος. Και η εξήγηση "Η πιθανότητα να έρθουν 500 σερί γραμ είναι απειροελάχιστη" είναι απλά και ξεκάθαρα ΛΑΘΟΣ. Η εξήγηση (όπως λέω και στο προηγούμενο σχόλιο) είναι ότι το αποτέλεσμα αντιβαίνει την ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ, σύμφωνα με την οποία , με την αύξηση του αριθμού των φορών που επαναλαμβανουμε ένα πειραμα τύχης η ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ καθενός αποτελέσματος προσεγγίζει όλο και περισσότερο μια ορισμένη "κανονική" τιμη . Αυτό είναι ουσιαστικά με "λόγια" το θεμελιώδες "Θεώρημα μεγάλων αριθμών" του Μπερνούλι και αυτό (ΚΑΙ ΟΧΙ η μικρή πιθανότητα)εξηγεί γιατί είμαστε ΣΧΕΔΟΝ ΑΠΟΛΥΤΑ βέβαιοι(πρακτικά ΒΕΒΑΙΟΙ) ότι το νόμισμα είναι κάλπικο. Οποιαδήποτε σειρά 500 ρίψεων ,ακόμη και η πιο κοντινή στη θεωρητική (250Γ ,250Κ) έχει την ίδια πιθανότητα, αλλά η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ εμφάνισης είναι το κλειδί.
Γι'αυτό σε παρακαλώ, για να μη μένουν λάθος εντυπώσεις, σβήσε αν θέλεις τη δικιά μου αρχική "λύση" στο σχετικό πεδίο,ή άλλαξέ τη με αυτή.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Γιώργο έκανα τη μεταβολή, όπως μου το ζήτησες.

batman1986 είπε...

O Ριζόπουλος έχει απόλυτο δίκιο.Θα έπρεπε να αναλύσουμε τη συγκεκριμένη περίπτωση σε συχνότητα εμφάνισης συνδυασμών και όχι σε όρους πιθανοτήτων.όσες φορές τείνουμε να επαναλάβουμε το πείρμα κανονικά θα πρέπει να προσεγγίζουμε το 50-50 σε κορώνα γράμματα(μειώνεται το variance).όμως αυτό το παράλογο αποτέλεσμα μας πείθει ότι το νόμισμα είναι κάλπικο.

Τσεκάροντας μεμονωμένα κάθε πιθανό συνδυασμό δεν μπορούμε να ξέρουμε με τη συχνότητα εμφανίζεται.Η πιθανότητα όμως του κάθε δυνατού συνδυασμού είναι η ίδια σε σχέση με την πιθανότητα του κάθε άλλου αλλά δίχως να έχει σταθμιστεί με την συχνότητα εμφάνισης καθώς αυξάνουμε τις ρίψεις

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes