Τρίτη, 11 Ιουνίου 2013

Η Διαδρομή

Ένα αντρόγυνο κάθε ημέρα μετά την δουλειά τους συναντώνται προκειμένου να πάνε στο σπίτι. Ο άντρας παίρνει το τρένο και φτάνει στο σταθμό στις 5μμ ακριβώς, όπου τον περιμένει εκεί η σύζυγος του με το αυτοκίνητο και ξεκινούν για το σπίτι τους. Μία ημέρα ο σύζυγος τελείωσε νωρίς την δουλειά του και έφτασε στις 4μμ στον σταθμό και αντί να περιμένει ξεκίνησε να πάει στο σπίτι με τα πόδια. Κάποια στιγμή τον συνάντησε η σύζυγος του και γύρισαν μαζί στο σπίτι 10 λεπτά νωρίτερα από το συνηθισμένο. Αν υποθέσουμε ότι η γυναίκα οδηγεί πάντα με σταθερή ταχύτητα και πάντα φτάνει ακριβώς στις 5μμ στο σταθμό, να βρεθεί πόση απόσταση περπάτησε μόνος του ο άντρας μέχρι να τον συναντήσει η σύζυγος του? (Κατ.27/Νο.355) 
Πηγή:Martin Gardner

Λύση

Αφού κέρδισαν 10 λεπτά καταλαβαίνουμε ότι η το αμάξι διήνησε 10 λεπτά λιγότερο δρόμο, δηλαδή γλίτωσε 5′ από το πήγαινε και 5′ από το έλα. Αυτό σημαίνει ότι αντί για το κανονικό 5:00 συνάντησε τo σύζυγό της στις 4:55… Άρα ο σύζυγό της περπάτησε από τις 4:00 έως τις 4:55, σύνολο 55 λεπτά!

8 σχόλια:

sw είπε...

Τα 10 λεπτά που έφτασαν πιο γρήγορα σπίτι είναι η ώρα που θα έκανε το αυτοκίνητο να φτάσει από το σημείο συνάντησης με το σύζυγο μέχρι το σταθμό και πάλι πίσω στο σημείο συνάντησης. Δηλαδή 5 λεπτά με το αυτοκίνητο από το σταθμό έγινε η συνάντηση. Αυτό σημαίνει, δεδομένου ότι η συνάντηση γίνεται κάθε μέρα ακριβώς στις 5, ότι ο άντρας περπάταγε 55 λεπτά πριν τη συνάντηση και συναντήθηκαν με τη σύζυγο στις 4.55μμ. Αυτά για βοήθεια σε όσους ασχοληθούν. Δεν νομίζω ότι έχω στοιχεία για κάτι καλύτερο.

sw είπε...

Μάλλον δεν τα είπα καλά. Τα 10 λεπτά που γλυτώνουν είναι ο χρόνος από το σταθμό μέχρι το σημείο συνάντησης. Δηλαδή βρέθηκαν 4:50. Αυτό σημαίνει ότι ο άντρας είχε περπατήσει 50 λεπτά. Τώρα, τι ώρα ξεκινούσε η σύζυγος από το σπίτι ή τι ώρα έφταναν κάθε μέρα ώστε να υπολογίσω αποστάσεις, αυτό δεν μπορώ να το διακρίνω κάπου.

Ε.Θ.Α είπε...

Μάλλον το πρώτο σχόλιο είναι σωστό όσον αφορά τους συγκεκριμένους χρόνους. 4:55 η συνάντηση, 5 λεπτά θα έκανε η σύζυγος μέχρι το σταθμό και 5 λεπτά επιστροφή στο σημείο συνάντησης, "κέρδος" 10 λεπτά. Αλλιώς 10+10=20 λεπτά "κέρδος".

Papaveri είπε...

@sw
Το πρώτο σχόλιο είναι σωστό και όχι το δεύτερο. Ο σύζυγος περπάτησε 55 λεπτά μέχρι που συναντήθηκαν.

Papaveri είπε...

@Ε.Θ.Α.
Πολύ σωστά.

Ε.Θ.Α είπε...

Επιτρέψτε μου να συνεχίσω και να εμβαθύνω λίγο περισσότερο στο πρόβλημα.
Το πρόβλημα ζητάει να βρούμε την “απόσταση που περπάτησε ο άνδρας μέχρι να συναντηθεί με την σύζυγο του” και όχι ποση ώρα περπάτησε . Στο ΕΙΣΑΤΟΠΟΝ γράφει “πόση περπάτησε μόνος του?” (πόση ώρα ?, δηλαδή πόσο χρόνο, πόση απόσταση?, άγνωστο το ζητούμενο μόνο ο Μάρτιν Γκάρντνερ ξέρει!).
Ομολογώ ότι βασανίστηκα αρκετά μέχρι να βρω τη λύση του!
Και ο λόγος είναι ότι το πρόβλημα δεν έχει λύση!, για την ακρίβεια έχει άπειρες λύσεις μέσα σε κάποια όρια βέβαια (το εύρος των ταχυτήτων που μπορεί να αναπτύξει ένας πεζός, ας πούμε από 3 χλμ/ώρα μέχρι 7,5 χλμ/ώρα.
ΤΟ πρώτο συμπέρασμα είναι αυτό που ήδη βρήκαμε: 4:55 συναντήθηκαν, άρα ο σύζυγος περπάτησε 55 λεπτά και η σύζυγος θα 5 λεπτά από το σημείο συνάντησης μέχρι το σταθμό.
Άρα 2ο συμπέρασμα η ταχύτητα του αυτοκινήτου και η ταχύτητα του πεζού είναι αντιστρόφως ανάλογες του χρόνου που έκαναν για να διανύσουν την ίδια απόσταση, δηλαδή:
Ταχύτητα αυτοκινήτου =55/5*Ταχύτητα πεζού =>Ταχυτ.αυτ.=11*Ταχύτ.πεζ .
Άλλη εξίσωση δεν υπάρχει, όσες και να έκανα κατέληγαν σε αυτονόητες αριθμητικές ισότητες ή ταυτότητες, άρα αόριστο το πρόβλημα!
Και πράγματι, έχει πολλές, άπειρες λύσεις, και όσον αφορά την απόσταση που διήνυσε ο άνδρας και όσον αφορά την απόσταση σπιτιού-σημείου συνάντησης. Θα δώσω δύο ενδεικτικά.
1η ΛΥΣΗ
Έστω ότι ο πεζός πήγαινε με 3 χλμ/ώρα, άρα απόσταση=3*55/60=2,75 χλμ
Ταχ.αυτ. =11*3=33χλμ/ώρα
Το σπίτι μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε αρκεί να ταιριάξουμε απόσταση και χρόνο.
1α Το σπίτι μπορεί να βρίσκεται ακριβώς στο σημείο συνάντησης! Και να συναντήθηκαν ακριβώς στην αυλή την ώρα που η σύζυγος μόλις μπήκε στο αυτοκίνητα. Έφτασε στο σπίτι 4:55. Αν η σύζυγος πήγαινε στο σταθμό θα έκανε 2,75/33=0,08333.. = 5 λεπτά και 5 λεπτά να επιστέψει 10, θα έφτανε σπίτι 5:05, 10 λεπτά νωρίτερα.
1β......
1γ.....
...........
.............
1ν Έστω ότι η απόσταση σπιτιού-σημείου είναι 33 χλμ, 33/33=1 ώρα, (1 ώρα +5 λεπτά)=2 ώρες και 10
λεπτά έναντι 2 ωρών άρα πάλι 10 λεπτά νωρίτερα .

2η ΛΥΣΗ...
3η ΛΥΣΗ..
...............
...............
Ν-οστή ΛΥΣΗ
Ταχύτητα πεζού=7,5 χλμ/ωρα , άρα απόσταση=7,5*55/60=6,875 χλμ
Ταχύτητα αυτοκ.=7,5*11 =82,5 χλμ/ωρα =>Χρόνος=6,875/82,5=0,0833..=5 λεπτά
Για την απόσταση σπιτιού-σημείου 2α, 2β, 2γ,...2ν ισχύουν τα ίδια με 1α, 1β,1γ,...1ν με την διαφορά ότι αντί των 33 χλμ/ώρα της 1 λύσης θα γίνουν οι υπολογισμοί με 82,5 χλμ/ώρα

Θεώρησα σκόπιμο να στείλω αυτές τις σκέψεις μιας και τις έκανα πριν το κλείσιμο σας με ζητούμενο μόνο τον χρόνο.
Αν δεν συμφωνείτε μην το δημοσιεύετε, κανένα πρόβλημα!

Papaveri είπε...

@Ε.Θ.Α.
Κάθε επί πλέον ανάλυση της λύσης ενός προβλήματος είναι αποδεκτή και συμφωνώ με όσα γράψατε ανωτέρω. Σας ευχαριστώ.

sw είπε...

@Ε.Θ.Α.

Αγαπητέ Ε.Θ.Α. σωστά το θέτεις. Το πρόβλημα ζητάει απόσταση, όχι χρόνο. Γι αυτό κι εγώ είπα στο πρώτο μήνυμα ότι απλά παραθέτω κάποιες σκέψεις για βοήθεια γιατί δεν έχω άλλα στοιχεία για τη λύση.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes