Κυριακή, 30 Δεκεμβρίου 2012

Η Ηλικία

Η Πριγκίπισσα είναι όσο χρονών θα γίνει ο Πρίγκιπας, όταν η Πριγκίπισσα θα έχει τη διπλάσια ηλικία από ότι είχε ο Πρίγκιπας, όταν ή Πριγκίπισσα ήταν στη μισή ηλικία από ότι είναι τώρα και οι δύο μαζί. Βρείτε τις ηλικίες τους.(Κατ.10/Νο.70)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Μυστήριο και δύσκολο πρόβλημα ως προς την ακριβή απόδοση των λεκτικών δεδομένων σε μαθηματικές σχέσεις. Καταρχάς ,από το πρώτο δεδομένο ότι η Πριγκίπισσα είναι ΤΩΡΑ όσο ΘΑ γίνει ο πρίγκιπας κλπ. συνάγουμε ότι η πριγκίπισσα είναι μεγαλύτερη από τον Πρίγκιπα (αν κι αυτό, θα προκύψει και από τις εξισώσεις ) Έχουμε ,από τα δεδομένα, τρεις διακριτές χρονικές στιγμές . Το 'τώρα' ,έστω Τ , όπου οι ηλικίες της Πριγκ. Και του Πρίγκηπα που ψάχνουμε είναι έστω x και y αντίστοιχα. Τ: πριγκίπισσα= x πρίγκιπας= y (1) To παρελθόν ,έστω Π, όπου από τα δεδομένα έχουμε ότι (x+y)2 = z , όπου z η μισή ηλικία που ΘΑ έχει ο πρίγκιπας όταν η Πριγκίπισσα θα έχει τα τωρινά χρόνια του πρίγκιπα, δηλαδή x. Δηλαδή ισχύει Π: πριγκίπισσα= (x+y)/2 Πρίγκιπας=z (2) Και Μέλλον Μ: πριγκίπισσα= 2z Πρίγκιπας=x (3) H ηλικιακή διαφορά μεταξύ τους , έστω Δ, είναι όμως πάντα σταθερή (αν υποθέσουμε ότι κάποιος από τους δύο κάνει διαστημικό ταξίδι , το πρόβλημα περιπλέκεται πολύ…:-)) Άρα οι (1) (2) και (3) γίνονται: x-y=Δ 2z-x=Δ (x+y)/2=Δ Ή x-y=Δ 2z-x=Δ x/2 + y/2 =Δ Το σύστημα γίνεται [x y z]* [ 1 -1 0 , -1 0 2 , 0.5 0.5 -1]= [ Δ Δ Δ] Άρα (με μετατροπή σε διαγώνια μήτρα) έχουμε: [x y z]* [ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1]= [ 4Δ 3Δ 5Δ/2] Άρα x=4Δ (ηλικία πριγκίπισσας) και y=3Δ (ηλικία πρίγκιπα) Άρα η πριγκίπισσα έχει κατά 1/3 μεγαλύτερη ηλικία από τον πρίγκιπα Υποθέτοντας ακέραιες τιμές για το Δ (δηλαδή ακέραια έτη διαφορά ηλικίας έχουμε)τους συνδυασμούς: Πρίγκιπισσα: 4 , 8 , 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64… Πρίγκιπας: 3, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48… Δεν συνεχίζω τους συνδυασμούς γιατί το πρόβλημα δεν λέει για γεροντοπρίγκηπες! Λογικοί συνδυασμοί ηλικιών είναι οι 18/24 ή 24/32 ή 30/40 ή έστω 36/48 Αν δινόταν η μία ηλικία το πρόβλημα θα είχε μονοσήμαντη λύση. Τώρα προσέχω ότι για να έχει και το z ακέραιες τιμές (η ηλικία του πρίγκιπα στο παρελθόν που ισούται με την μισή ηλικία της πριγκίπισσας στο μέλλον) πρέπει να ισχύει Δ= 2*κ (κ=ακέραιος) και (συνεπακολούθως) x=8k , y=6k, z=5k Oπότε τα ζεύγη με μη πολλαπλάσια του 8 και του 6 στις ηλικίες πριγκίπισσας και πρίγκιπα αντίστοιχα απορρίπτονται (όχι μαθηματικώς δηλαδή, αλλά για να έχει νόημα η εκφώνηση θα πρέπει νομίζω να αναφέρεται για κάθε χρονική στιγμή σε ακέραια έτη) Άρα μένει το 16/12 , 32/24 και 48/36 Εναλλακτική λύση- «μονολεκτική» τρόπον τινά- που μετατρέπει σε μία εξίσωση τα λόγια της εκφώνησης «μοτ α μό». Η ηλικία της πριγκίπισσας είναι το διπλάσιο του μισού των ηλικιών τους μαζί μείον τη διαφορά ηλικίας τους απομειωμενο κατά την διαφορά της ηλικίας τους. (σα γλωσσοδέτης είναι.):-) Ήτοι: x=2(((x+y)/2)-(x-y))-(x-y) …...3x=4y ή χ/y = 4/3

7 σχόλια:

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...


Buonasera cari amici!
Μυστήριο και δύσκολο πρόβλημα ως προς την ακριβή απόδοση των λεκτικών δεδομένων σε μαθηματικές σχέσεις.
Καταρχάς ,από το πρώτο δεδομένο ότι η Πριγκίπισσα είναι ΤΩΡΑ όσο ΘΑ γίνει ο πρίγκιπας κλπ. συνάγουμε ότι η πριγκίπισσα είναι μεγαλύτερη από τον Πρίγκιπα (αν κι αυτό, θα προκύψει και από τις εξισώσεις )
Έχουμε ,από τα δεδομένα, τρεις διακριτές χρονικές στιγμές . Το 'τώρα' ,έστω Τ , όπου οι ηλικίες της Πριγκ. Και του Πρίγκηπα που ψάχνουμε είναι έστω x και y αντίστοιχα.
Τ: πριγκίπισσα= x πρίγκιπας= y (1)
To παρελθόν ,έστω Π, όπου από τα δεδομένα έχουμε ότι (x+y)2 = z , όπου z η μισή ηλικία που ΘΑ έχει ο πρίγκιπας όταν η Πριγκίπισσα θα έχει τα τωρινά χρόνια του πρίγκιπα, δηλαδή x.
Δηλαδή ισχύει Π: πριγκίπισσα= (x+y)/2 Πρίγκιπας=z (2)
Και Μέλλον Μ: πριγκίπισσα= 2z Πρίγκιπας=x (3)
H ηλικιακή διαφορά μεταξύ τους , έστω Δ, είναι όμως πάντα σταθερή (αν υποθέσουμε ότι κάποιος από τους δύο κάνει διαστημικό ταξίδι , το πρόβλημα περιπλέκεται πολύ…:-))
Άρα οι (1) (2) και (3) γίνονται:
x-y=Δ
2z-x=Δ
(x+y)/2=Δ
Ή
x-y=Δ
2z-x=Δ
x/2 + y/2 =Δ
Το σύστημα γίνεται
[x y z]* [ 1 -1 0 , -1 0 2 , 0.5 0.5 -1]= [ Δ Δ Δ]
Άρα (με μετατροπή σε διαγώνια μήτρα) έχουμε:
[x y z]* [ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1]= [ 4Δ 3Δ 5Δ/2]
Άρα x=4Δ (ηλικία πριγκίπισσας) και y=3Δ (ηλικία πρίγκιπα)
Άρα η πριγκίπισσα έχει κατά 1/3 μεγαλύτερη ηλικία από τον πρίγκιπα
Υποθέτοντας ακέραιες τιμές για το Δ (δηλαδή ακέραια έτη διαφορά ηλικίας έχουμε)τους συνδυασμούς:

Πρίγκιπισσα: 4 , 8 , 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64…
Πρίγκιπας: 3, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…
Δεν συνεχίζω τους συνδυασμούς γιατί το πρόβλημα δεν λέει για γεροντοπρίγκηπες!
Λογικοί συνδυασμοί ηλικιών είναι οι 18/24 ή 24/32 ή 30/40 ή έστω 36/48
Αν δινόταν η μία ηλικία το πρόβλημα θα είχε μονοσήμαντη λύση.

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Caro Giorgio
Congratulazioni! La tua risposta è corretta.
La soluzione che haι dato è eccellente in termini di analisi.

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...


Τώρα προσέχω ότι για να έχει και το z ακέραιες τιμές (η ηλικία του πρίγκιπα στο παρελθόν που ισούται με την μισή ηλικία της πριγκίπισσας στο μέλλον) πρέπει να ισχύει
Δ= 2*κ (κ=ακέραιος) και (συνεπακολούθως) x=8k , y=6k, z=5k
Oπότε τα ζεύγη με μη πολλαπλάσια του 8 και του 6 στις ηλικίες πριγκίπισσας και πρίγκιπα αντίστοιχα απορρίπτονται (όχι μαθηματικώς δηλαδή, αλλά για να έχει νόημα η εκφώνηση θα πρέπει νομίζω να αναφέρεται για κάθε χρονική στιγμή σε ακέραια έτη)
Άρα μένει το 16/12 , 32/24 και 48/36
Ωραίο πρόβλημα Κάρλο! (Ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια! Δεν αποκοτάω να το πω στα Ιταλικά,από το φόβο να μην γελοιοποιηθώ. :-))

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Non hai raggione. Scrivi molto bene.
Mi pare che hai studiato in Italia.
O sbaglio?:-)

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Εναλλακτική λύση- «μονολεκτική» τρόπον τινά- που μετατρέπει σε μία εξίσωση τα λόγια της εκφώνησης «μοτ α μό».
Η ηλικία της πριγκίπισσας είναι το διπλάσιο του μισού των ηλικιών τους μαζί μείον τη διαφορά ηλικίας τους απομειωμενο κατά την διαφορά της ηλικίας τους.
(σα γλωσσοδέτης είναι.):-)
Ήτοι: x=2(((x+y)/2)-(x-y))-(x-y)
…...3x=4y ή χ/y = 4/3

Κάρλο, έχω σπουδάσει (εκτός από την Αθήνα) και στη Γερμανία(Βερολίνο).

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Ευτυχώς βλέπω ανάρτησες κι άλλο πρόβλημα.
Έτσι θα λύσει ο Μπάτυ το σκακιστικό και ο κος Λέντζος το μαθηματικό ,να μην παραπονιούνται κι αυτοί οι καημένοι ότι δεν πρόλαβαν. :-)

Eγώ αποχωρώ προς το παρόν για να δρέψω τις δάφνες μου!
YΓ. Μπορεί να μην έχω κάνει στην Ιταλία αλλά βέβαια-όπως όλοι οι μεγάλοι μαθηματικοί. π.χ Λάιμπνιτς, Μπόλυαϊ, Ευκλείδης κλπ- είμαι πολύγλωσσος!
ΥΓ2. Τώρα την κάνω με ελαφρά, γιατί ακούω ένα κοπάδι παρδαλά ερίφια να χαχανίζουν..

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Aspeto anche la tua soluzione in questo rebus.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes