Η Ηλικία

Η Πριγκίπισσα είναι όσο χρονών θα γίνει ο Πρίγκιπας, όταν η Πριγκίπισσα θα έχει τη διπλάσια ηλικία από ότι είχε ο Πρίγκιπας, όταν ή Πριγκίπισσα ήταν στη μισή ηλικία από ότι είναι τώρα και οι δύο μαζί. Βρείτε τις ηλικίες τους.(Κατ.10/Νο.70)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/02/blog-post_462.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Μυστήριο και δύσκολο πρόβλημα ως προς την ακριβή απόδοση των λεκτικών δεδομένων σε μαθηματικές σχέσεις. Καταρχάς ,από το πρώτο δεδομένο ότι η Πριγκίπισσα είναι ΤΩΡΑ όσο ΘΑ γίνει ο πρίγκιπας κλπ. συνάγουμε ότι η πριγκίπισσα είναι μεγαλύτερη από τον Πρίγκιπα (αν κι αυτό, θα προκύψει και από τις εξισώσεις ) Έχουμε ,από τα δεδομένα, τρεις διακριτές χρονικές στιγμές . Το 'τώρα' ,έστω Τ , όπου οι ηλικίες της Πριγκ. Και του Πρίγκηπα που ψάχνουμε είναι έστω x και y αντίστοιχα. Τ: πριγκίπισσα= x πρίγκιπας= y (1) To παρελθόν ,έστω Π, όπου από τα δεδομένα έχουμε ότι (x+y)2 = z , όπου z η μισή ηλικία που ΘΑ έχει ο πρίγκιπας όταν η Πριγκίπισσα θα έχει τα τωρινά χρόνια του πρίγκιπα, δηλαδή x. Δηλαδή ισχύει Π: πριγκίπισσα= (x+y)/2 Πρίγκιπας=z (2) Και Μέλλον Μ: πριγκίπισσα= 2z Πρίγκιπας=x (3) H ηλικιακή διαφορά μεταξύ τους , έστω Δ, είναι όμως πάντα σταθερή (αν υποθέσουμε ότι κάποιος από τους δύο κάνει διαστημικό ταξίδι , το πρόβλημα περιπλέκεται πολύ…:-)) Άρα οι (1) (2) και (3) γίνονται: x-y=Δ 2z-x=Δ (x+y)/2=Δ Ή x-y=Δ 2z-x=Δ x/2 + y/2 =Δ Το σύστημα γίνεται [x y z]* [ 1 -1 0 , -1 0 2 , 0.5 0.5 -1]= [ Δ Δ Δ] Άρα (με μετατροπή σε διαγώνια μήτρα) έχουμε: [x y z]* [ 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1]= [ 4Δ 3Δ 5Δ/2] Άρα x=4Δ (ηλικία πριγκίπισσας) και y=3Δ (ηλικία πρίγκιπα) Άρα η πριγκίπισσα έχει κατά 1/3 μεγαλύτερη ηλικία από τον πρίγκιπα Υποθέτοντας ακέραιες τιμές για το Δ (δηλαδή ακέραια έτη διαφορά ηλικίας έχουμε)τους συνδυασμούς: Πρίγκιπισσα: 4 , 8 , 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64… Πρίγκιπας: 3, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48… Δεν συνεχίζω τους συνδυασμούς γιατί το πρόβλημα δεν λέει για γεροντοπρίγκηπες! Λογικοί συνδυασμοί ηλικιών είναι οι 18/24 ή 24/32 ή 30/40 ή έστω 36/48 Αν δινόταν η μία ηλικία το πρόβλημα θα είχε μονοσήμαντη λύση. Τώρα προσέχω ότι για να έχει και το z ακέραιες τιμές (η ηλικία του πρίγκιπα στο παρελθόν που ισούται με την μισή ηλικία της πριγκίπισσας στο μέλλον) πρέπει να ισχύει Δ= 2*κ (κ=ακέραιος) και (συνεπακολούθως) x=8k , y=6k, z=5k Oπότε τα ζεύγη με μη πολλαπλάσια του 8 και του 6 στις ηλικίες πριγκίπισσας και πρίγκιπα αντίστοιχα απορρίπτονται (όχι μαθηματικώς δηλαδή, αλλά για να έχει νόημα η εκφώνηση θα πρέπει νομίζω να αναφέρεται για κάθε χρονική στιγμή σε ακέραια έτη) Άρα μένει το 16/12 , 32/24 και 48/36 Εναλλακτική λύση- «μονολεκτική» τρόπον τινά- που μετατρέπει σε μία εξίσωση τα λόγια της εκφώνησης «μοτ α μό». Η ηλικία της πριγκίπισσας είναι το διπλάσιο του μισού των ηλικιών τους μαζί μείον τη διαφορά ηλικίας τους απομειωμενο κατά την διαφορά της ηλικίας τους. (σα γλωσσοδέτης είναι.):-) Ήτοι: x=2(((x+y)/2)-(x-y))-(x-y) …...3x=4y ή χ/y = 4/3