Κυριακή, 16 Δεκεμβρίου 2012

Δέκα Ερωτήσεις Ζητούν Δέκα Απαντήσεις

1. Η τιμή μιας μετοχής πέφτει κατά 50%. Πόσο τοις % θα πρέπει να 
ανεβεί για νααποκτήσει την αρχική της τιμή;
2. Τι πιθανότητα έχουμε όταν ρίχνουμε δυο ζάρια να φέρουμε «6άρες»;
(δηλαδή να δείχνουν και τα δύο 6)
3. Η τιμή ενός προϊόντος με ΦΠΑ 18% είναι 5.900 ευρώ. Ποια η τιμή του χωρίς ΦΠΑ;
4. Ένα ρολόι χτυπάει τις ακέραιες ώρες. Πόσα χτυπήματα ακούγονται σε ένα 24ωρο;
5. Ποια είναι περίπου η τιμή του 1,005^100;
6. Μια βρύση γεμίζει μια δεξαμενή σε 30 λεπτά και μια άλλη βρύση 
γεμίζει την ίδια δεξαμενή σε 70 λεπτά. Σε πόσα λεπτά γεμίζουν και οι δυο 
βρύσες μαζί τη δεξαμενή;
7. Ο αριθμός 20! πόσα μηδενικά έχει στο τέλος του;
(όπου 20!=1.2.3.4...19.20)
8. Ποια γωνία σχηματίζουν οι δείκτες του ρολογιού όταν δείχνουν, 
12:20 μ.μ. ; 
9. Ένας πληθυσμός μικροοργανισμών διπλασιάζεται κάθε μέρα. Σε 10 
μέρες είναι 100 εκατομμύρια. Σε πόσες μέρες θα είναι 400 
εκατομμύρια;
10. Δίνεται η παρακάτω σειρά αριθμών:
5, 16, 50,...?
Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός;
(Κατ.34/Ν0.537)
Πηγή:?

Λύση

1.100%, πρέπει να ανέβει η τιμή της μετοχής για ν’ αποκτήσει την αρχική της τιμή. [100%*(0,5χ)+0,5χ=χ --> 50χ+50χ=100χ], 2.Το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων είναι 36 οπότε η πιθανότητα που ζητάμε είναι 1/36. [1/6*(1/6)=1/36], 3. Το 18% του 5.000 είναι 900, οπότε η τιμή χωρίς το φόρο είναι 5.000 ευρώ Η τιμή του προϊόντος χωρίς Φ.Π.Α. είναι 5.000€. Έστω «χ» η τιμή δίχως Φ.Π.Α. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης έχουμε: 1,18*χ=5.900 --> χ=5.900/1,18 --> χ= 5.000€, 4. Σ’ ένα 24ωρο θ’ ακουστούν 156 κτύποι. Θα κτυπήσει 12 φορές από το πρωΐ έως το μεσημέρι και 12 φορές από το μεσημέρι έως το βράδυ, δηλαδή 2 φορές το άθροισμα (1+2+3+4++5+6+7+8+9+10+11+12)*2=78*2=156 κτυπήματα θ’ ακουστούν., 5. Περίπου 1,5. (Γ. Ριζόπουλος) H προσέγγιση 1,5 για το (1+0,005)^100 , θεωρώ ότι δεν είναι ικανοποιητική. Το ανάπτυγμα σε σειρά Τάιηλορ (διωνυμικό ανάπτυγμα) για το (1 + x)^100 είναι 1+100x+4950x^2+161700x^3 +.....+100x^99+x^100 (101 όροι). Οι 4 όροι αρκούν για μια καλή προσέγγιση γιατί το άθροισμα των υπολοίπων είναι αμελητέα μικρό. Έτσι 1+100x+4950x^2+161700x^3= 1+0,005*100 + 4950* 0,005^2 + 161700*0,005^3=1+0,5+0,1237+0,020=1,6437 περίπου 1,64,(Προσθήκη N. Lntzs) Nα εμφανιστώ και εγώ γιατί πολλές απουσίες έκανα και θα μου ζητήσετε να έλθω με τον κηδεμόνα μου. Όλες οι ερωτήσεις είναι σχετικά απλές και με εύκολες απαντήσεις . Δεν διαφωνώ με τους προηγούμενους, άλλωστε έχουν δείξει την κλάση τους. Το μόνο που θέλω να προσθέσω στην 5η ερώτηση. Θεωρώντας γνωστό ότι το όριο της ακολουθίας (1+1/ν)^ν είναι ο αριθμός e=2,7182 και πιο γενικά της ακολουθίας (1+κ/ν)^ν είναι ο αριθμός e^κ , η παράσταση 1,005^100=(1+0.5/100)/100, ισούται κατά προσέγγιση με το όριο της ακολουθίας (1+0.5/ν)/ν που είναι η ρίζα του δηλ: sqrt(e)=sqrt(2,7182)=1.6487 (Σχόλιο Γ. Ριζόπουλου):Eξαιρετική η λύση του Ν.Λέντζου, για το (1+0,005)^ν! Τολμώ να πω η μόνη σωστή, γιατί η δικιά μου προϋποθέτει υποβοηθούμενη μνήμη :-)εκτός αν κάποιος ισχυριστεί ότι μπορεί να κατασκευάσει και να υπολογίσει τους όρους(διωνυμικούς συντελεστές) στο τρίγωνο του Πασκάλ για ν=100 :-) 6. Και οι δύο βρύσες μαζί γεμίζουν τη δεξαμενή σε 21 λεπτά. Σε 1 λεπτό η πρώτη βρύση γεμίζει το α/30 και η δεύτερη το α/70 μέρος της δεξαμενής. Οπότε και οι δύο μαζί σε ένα λεπτό γεμίζουν: (α/30)+ (α/70) =1 --> 70α+30α=2.100 --> 100α=2.100 --> α=2.100/100 --> α=21 το 1/21 της δεξαμενής. Άρα και οι δύο μαζί τη γεμίζουν σε 21 λεπτά. (batman1986) Απλή μέθοδος των τριών. Κατάταξη: 1 δεξαμενή σε 30 λεπτά 0,7 δεξαμενής σε χ; λεπτά χ=30*0,7=21 λεπτά. , 7. Τέσσερα μηδενικά. (Γ.Ριζόπουλος) Στα παραγοντικά έχουμε ένα μηδενικό ανά πολλαπλάσια του 5 ( 20/5 =4) 5!=120 (ένα μηδενικό) 10!=3.628.800 (δύο μηδενικά) 15!= 1307674368000 (τρία μηδενικά) 20!= 2432902008176640000 (τέσσερα μηδενικά) ..................... ..................... ...................... 100! =100/5 + 100/(5^2) + 100 /(5^3) = 20 + 4 + 0 = 24 (μηδενικά στο τέλος) Ή στην παραγοντοποίηση σε πρώτους του 100! Έχουμε 3^..*5^24* 7^..., 8. Οι δείκτες του ρολογιού σχηματίζουν στις 12:20μ.μ. γωνία 110 μοιρών. (Γ. Ριζόπουλος) Να συνεισφέρω επίσης το γενικό τύπο που δίνει τη γωνία των δεικτών ρολογιού σε μοίρες (degrees) συναρτήσει της ώρας. Γ= 30Ω - (11/2) Λ , έτσι στην περίπτωσή μας Γ=30*0 - (11/2)*20= -110 μοίρες. (το πρόσημο ( - ) σημαίνει δεξιόστροφα από το 0/12) (batman1986) Οι μοίρες μεταξύ ενδείξεων μιας ώρας είναι 360/12=30. Στις 12 και 20 έχει περάσει το 20/60=1/3 της ώρας. Άρα ο ωροδείκτης έχει στραφεί δεξιόστροφα από το 12 κατά 1/3*(30)=10 μοίρες. Άρα η γωνία που σχηματίζεται είναι 4*30-10=110 μοίρες, 9. Σε 12 ημέρες θα είναι 400.000.000 ο πληθυσμός των μικροοργανισμών. ( 2*2*100.000.000=400.000.000) Αφού σε 10 μέρες είναι 100.000.000, σε 11 ημέρες θα είναι 200.000.000, και σε 12 ημέρες θα είναι 400.000.000. 10. Ο επόμενος όρος της αριθμητικής προόδου προκύπτει εάν πολλαπλασιάσουμε τον προηγούμενο όρο με τον αριθμό 3 και προσθέσουμε σε κάθε νέο όρο την ακολουθία 1, 2, 3,..,n., οπότε ο επόμενος όρος είναι: 50*3+3=150+3=153.

14 σχόλια:

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Στο 1. 100%

Στο 2. P(6)=1/6 ,
P(6 και 6)=P(6)*P(6)=1/36

Στο 7.
5!=120 (ένα μηδενικό)
10!=3.628.800 (δύο μηδενικά)
…20! (4 μηδενικά)
Στα παραγοντικά έχουμε ένα μηδενικό ανά πολλαπλάσια του 5 ( 20/5 =4)
Π.χ για το 100!

100/5 + 100/(5^2) + 100 /(5^3) = 20 + 4 + 0 = 24 (μηδενικά στο τέλος)
Ή ,στην παραγοντοποίηση σε πρώτους του 100! Έχουμε 3^..*5^24* 7^..

Στο 6.
(X/30)+(x/70)=1 (το όλον της δεξαμενής), άρα x=21 (λεπτά)

Στο 9.
Σε 13 μέρες.

Στο 10.
1, 5, 16, 50, 151, 455…
Bάσει του επαναληπτικού τύπου:
f(n) = (5*3^n + (-1)^n - 6)/8
(για n=1 1, για n=2 5, για n=3 16 ,.. για n=5 151, για n=6 455,…)
Τρεις όροι όμως (5, 16, 50) είναι νομίζω λίγοι για μονοσήμαντη λύση. Πιθανώς να υπάρχουν και άλλες ακολουθίες που περιέχουν τα ..5,16,50.. ή μάλλον σίγουρα υπάρχουν κι άλλες λύσεις.

M'αυτά (6/10) πιάνω τη βάση,νομίζω :-)

Ανώνυμος είπε...

Oι απαντήσεις που δίνω είναι:

1.Αν τότε η νέα τιμή μετά τη μείωση είναι 0,5χ άρα πρέπει να αυξηθεί κατά 100%*(0,5χ)+0,5χ=χ

άρα 100%

2.Η πιθανότητα είναι 1/6*(1/6)=1/36

3.Έστω χ η τιμή δίχως ΦΠΑ Έχουμε
1,18*χ=5900

χ=5900/1,18=5000

4.Ο αριθμός των χτυπημάτων αντιστοιχεί στην τιμή της ώρας.Π.χ. στις 12 έχουμε 12 χτυπήματα

Άρα (1+2+3+4...+12)*2=13*6*2=156 χτυπήματα

5.Αναλύεται σε (1+0,005)*(1+0,005)*... κλ.π

((1+0,01)*(1+0,01)...*(1+0,01))^50=(περίπου)1+0,01*50=1+0,5=1,5 περίπου

6. Aπλή μέθοδος 3

1 δεξαμενή σε 30 λεπτά

0,7 δεξαμενής σε χ=30*0,7=21 λεπτά

7. 4 μηδενικά μέτρησα

8. Οι μοίρες μεταξύ ενδείξεων μιας ώρας είναι 360/12=30

Στις 12 και 20 έχει περάσει το 20/60=1/3 της ώρας

Άρα ο οροδείκτης έχει στραφεί δεξιόστροφα από το 12 κατά 1/3*(30)=10 μοίρες

Άρα η γωνία που σχηματίζεται είναι 4*30-10=110 μοίρες

9.Σε 12 μέρες αφού 2*2*100=400

10. 5+(2*5+1)=5+11=16
16+(2*16+2)=16+34=50

Άρα ο επόμενος είναι

50+(2*50+3)=50+103=153

batman1986

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Buongiorno!
Στο 9. προφανώς οι 12 μέρες του τιμωρού του Γκόθαμ σίτυ ,είναι η σωστή απάντηση.
Αλλά, δεδομένου ότι έγραφα με την τσίμπλα στο μάτι, μ'έναν καλό δικηγόρο μήπως να μή κοβόμουνα Κάρλο;:-)
Άσε που.. τί 400 ,τι 800 μύρια; Μικρή διαφορά (έχουμε πάθει εκατομμυριίτιδα μ'αυτά που ακούμε καθε μέρα..χωρίς φράγκο στην τσέπη..)

Να συνεισφέρω επίσης το γενικό τύπο που δίνει τη γωνία των δεικτών ρολογιού σε μοίρες (degrees) συναρτήσει της ώρας.

Γ= 30Ω - (11/2) Λ , έτσι στην περίπτωσή μας Γ=30*0 - (11/2)*20= -110 μοίρες. (το πρόσημο ( - ) σημαίνει δεξιόστροφα από το 0/12)

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

H προσέγγιση 1,5 για το (1+0,005)^100 , θεωρώ ότι δεν είναι ικανοποιητική.

Το ανάπτυγμα σε σειρά Τάιηλορ (διωνυμικό ανάπτυγμα) για το (1 + x)^100 είναι 1+100x+4950x^2+161700x^3 +.....+100x^99+x^100 (101 όροι)
Οι 4 όροι αρκούν για μια καλή προσέγγιση γιατί το άθροισμα των υπολοίπων είναι αμελητέα μικρό.
Έτσι 1+100x+4950x^2+161700x^3= 1+0,005*100 + 4950* 0,005^2 + 161700*0,005^3=1+0,5+0,1237+0,020=1,6437 περίπου 1,64

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Caro Giorgio Buonasera!!
Πέντε στις 10 ερωτήσεις είναι καλό ποσοστό (50%). Τουλάχιστον σε αποζημειώνη η ανάλυση που έκανες στη 5 και στην 8 ερώτηση.
Η λύση της 10ης ερώτησης είναι:
Ο επόμενος όρος της αριθμητικής προόδου προκύπτει εάν πολλαπλασιάσουμε τον προηγούμενο όρο με τον αριθμό 3 και προσθέσουμε σε κάθε νέο όρο την ακολουθία 1, 2, 3,..,n., οπότε ο επόμενος όρος είναι: 50*3+3=150+3=153.
Απ' ότι είδα στην ιστοσελίδα "Διασκεδαστικά Μαθηματικά" συναντηθήκαμε ως αντίπαλοι. Στη λύση που έδωσα για το πως θα περάσουν το ποτάμι μου διέφυγε να γράψω για τη σχεδία που βρισκόταν στην όχθη Β΄, κάτι που το έκανες εσύ. Σου έγραψα ένα σχόλιο, δεν ξέρω εάν το διάβασες.

Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Οι απαντήσεις σου είναι σωστές, εκτός από τη τελευταία που είναι αυτή που αναφέρω στις λύσεις. Δε λέω ότι είναι λάθος , αλλά ήθελα αυτή τη λύση που είναι πιο σύντομη.

Ανώνυμος είπε...

@papaveri

Ντάξει την ίδια λύση δώσαμε απλά αντί να γράψω 50*3 έγραψα 50+2*50

Απλά έγραψα επί τόπου αυτό που σκεφτόμουν για να βρω την ακολουθία.Θέμα διατύπωσης είναι

batman1986

Ανώνυμος είπε...

@papaveri

Το σχόλιο του ριζόπουλου ότι με τόσους λίγους όρους η απάντηση μπορεί να μην είναι μονοσήμαντη είναι επίσης σωστό.Και η λύση που έδωσε αν και διαφορετική είναι σωστή

batman1986

Papaveri είπε...

@batman1986
Για το συγκεκριμένο που έγραψε ο Γ. Ριζόπουλος δεν είπα ότι ειναι λάθος, αλλά το ότι ήθελα τη συγκεκριμένη λύση.

Ανώνυμος είπε...

Nα εμφανιστώ και εγώ γιατί πολλές απουσίες έκανα και θα μου ζητήσετε να έλθω με τον κηδεμόνα μου.

Όλες οι ερωτήσεις είναι σχετικά απλές και με εύκολες απαντήσεις .
Δεν διαφωνώ με τους προηγούμενους, άλλωστε έχουν δείξει την κλάση τους.
Το μόνο που θέλω να προσθέσω στην 5η ερώτηση.
Θεωρώντας γνωστό ότι το όριο της ακολουθίας (1+1/ν)^ν είναι ο αριθμός e=2,7182 και πιο γενικά της ακολουθίας (1+κ/ν)^ν είναι ο αριθμός e^κ ,
η παράσταση 1,005^100=(1+0.5/100)/100, ισούται κατά προσέγγιση με το όριο της ακολουθίας (1+0.5/ν)/ν που είναι η ρίζα του δηλ: sqrt(e)=sqrt(2,7182)=1.6787
Ν.Lntzs

Ανώνυμος είπε...

Διόρθωση¨:
sqrt(e)=sqrt(2,7182)=1,6487

N.Lntzs

Papaveri είπε...

@N.Lntzs
Νίκο το πρόσεξα κι' εγώ αυτό το σημείο και υπέθεσα ότι είναι σωστό.
Θα κάνω τη διόρθωση.

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Eξαιρετική η λύση του Ν.Λέντζου, για το (1+0,005)^ν!
Τολμώ να πω η μόνη σωστή, γιατί η δικιά μου προϋποθέτει υποβοηθούμενη μνήμη :-)εκτός αν κάποιος ισχυριστεί ότι μπορεί να κατασκευάσει και να υπολογίσει τους όρους(διωνυμικούς συντελεστές) στο τρίγωνο του Πασκάλ για ν=100 :-)

tzenitzeni100 είπε...

Να ρωτησω κάτι; Αφού το 1/4 ενός κύκλου αντιστοιχεί σε 90 μοίρες, γιατί το 12:20 που εμπεριέχει το 1/4(90 μοίρες) συν το 1/3 του άλλου 1/4, δηλαδη 30 μοίρες από τις επόμενες 90, δεν λέμε 90 μοίρες συν 30 ισούνται με 120 μοίρες;;

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes