Τρίτη, 11 Δεκεμβρίου 2012

Η Ταχύτητα Ροής

Ένας κολυμβητής βουτάει από μία γέφυρα, πάνω από ένα κανάλι, και κολυμπάει 1 χιλιόμετρο κατά μήκος του καναλιού. Μετά από αυτό το πρώτο χιλιόμετρο, προσπερνά έναν φελλό που πλέει. Συνεχίζει να κολυμπά για μισή ώρα και στη συνέχεια γυρίζει προς τα πίσω και κολυμπά προς τη γέφυρα. Ο κολυμβητής και ο φελλός φθάνουν στη γέφυρα την ίδια στιγμή. Ο κολυμβητής κολυμπούσε με σταθερή ταχύτητα. Ποια είναι η ταχύτητα ροής του νερού στο κανάλι; (Κατ.34/Νο.536)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Εφόσον ο κολυμβητής έχει σταθερή ταχύτητα (σταθερή φαινόμενη σε εμάς δηλαδή = σε σχέση με την ταχύτητα του ρεύματος!) έκανε 1 ώρα (1/2 κόντρα στο ρεύμα + 1/2 σύμφωνα με το ρεύμα) από τη στιγμή που συνάντησε το φελλό να ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο συνάντησης με το φελλό ,δηλαδή στη γέφυρα, την ίδια ώρα ταξίδεψε ο φελλός από το αρχικό σημείο συνάντησης στη γέφυρα που αντιστοιχεί σε 1 Km. Εναλλακτικά (πιο εποπτικά ίσως..) αρκεί κάποιος να σκεφτεί, ότι αν δεν υπήρχε ρεύμα ο φελλός θα ήταν ακίνητος και ο κολυμβητής θα έκανε μισή και μισή= 1 ώρα να τον ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο αρχικής συνάντησης. Άρα ταχύτητα φελλού= ταχύτητα ρεύματος (εξ ορισμού)= 1km/h “Επιστημονική» λύση(παντελώς περιττή βέβαια ή αλλιώς «πώς να πας Αθήνα-Λαμία μέσω Αμερικής», αν και σίγουρα θα συγκινούσε έναν δάσκαλο Φυσικομαθηματικών!:-)) ως εξής : Έστω Vρ= ταχύτητα ρεύματος (άρα και φελλού) και Vκ= η «καθαρή» ταχύτητα κολυμβητή. Αρχικά κολυμπά 1Km κόντρα στο ρεύμα με φαινόμενη ταχύτητα Vκ-Vρ και συναντάει το φελλό. Από αυτή τη χρονική στιγμή ο φελλός(ρεύμα) διανύει 1Km(μέχρι τη γέφυρα) σε χρόνο έστω t. Άρα Vρ= s/t= 1/t ή t=1/ Vρ (1) Ο ίδιος χρόνος t για τον κολυμβητή αντιστοιχεί σε: t=S/Vκ=(1/2)+ 1/(Vκ+Vρ) +(1/2)*(Vκ-Vρ)*1/(Vκ+Vρ) (2) Άρα εξισώνοντας τις (1) και (2) έχουμε: 1/Vρ=(½)+ 1/(Vκ+Vρ) +(Vκ-Vρ)/(2*(Vκ+Vρ)) Αυτή τελικά γίνεται: (Vκ +1)/(Vκ+Vρ)= 1/Vρ Μια λύση είναι Vκ=0 (που δεν μπορεί να ισχύει) Άρα αναγκαστικά (για Vκ > 0) μοναδική λύση : Vρ=1 (Km/h) Λύση του batman1986. Έστω V(κ) η ταχύτητα κολυμβητή , V(ρ) η ταχύτητα ροής και t o χρόνος επιστροφής στη γέφυρα(κολυμβητής παράλληλα με τη ροή) και χ η απόσταση που διανύετε το μισάωρο μετά τη συνάντηση με το φελλό Ισχύουν οι 3 εξισώσεις: χ=(Vκ-Vρ)*0,5 (1) (αντίθετα στη ροή) χ+1=(Vκ+Vρ)*t (2) 1=Vρ*(t+0,5)(3) (η συνάρτηση του φελλού) Αφαιρούμε την (1) από τη (2) και έχουμε 1=Vκ*(t-0,5)+Vρ*(0,5+t) Λόγω (3) v*(t-0,5)=0 Άρα t=0,5 Οπότε από τη (3) προκύπτει: Vρ=1/(0,5+0,5)=1km/h

5 σχόλια:

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Εφόσον ο κολυμβητής έχει σταθερή ταχύτητα (σταθερή φαινόμενη σε εμάς δηλαδή =σε σχέση με την ταχύτητα του ρεύματος!) έκανε 1 ώρα (1/2 κόντρα στο ρεύμα + 1/2 σύμφωνα με το ρεύμα) από τη στιγμή που συνάντησε το φελλό να ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο συνάντησης με το φελλό ,δηλαδή στη γέφυρα, την ίδια ώρα ταξίδεψε ο φελλός από το αρχικό σημείο συνάντησης στη γέφυρα που αντιστοιχεί σε 1 Km. Εναλλακτικά (πιο εποπτικά ίσως..) αρκεί κάποιος να σκεφτεί, ότι αν δεν υπήρχε ρεύμα ο φελλός θα ήταν ακίνητος και ο κολυμβητής θα έκανε μισή και μισή= 1 ώρα να τον ξαναφτάσει στο ίδιο σημείο αρχικής συνάντησης.
Άρα ταχύτητα φελλού= ταχύτητα ρεύματος (εξ ορισμού)= 1km/h
“Επιστημονική» λύση(παντελώς περιττή βέβαια ή αλλιώς «πώς να πας Αθήνα-Λαμία μέσω Αμερικής», αν και σίγουρα θα συγκινούσε έναν δάσκαλο Φυσικομαθηματικών!:-)) ως εξής :
Έστω Vρ= ταχύτητα ρεύματος (άρα και φελλού) και Vκ= η «καθαρή» ταχύτητα κολυμβητή.
Αρχικά κολυμπά 1Km κόντρα στο ρεύμα με φαινόμενη ταχύτητα Vκ-Vρ και συναντάει το φελλό. Από αυτή τη χρονική στιγμή ο φελλός(ρεύμα) διανύει 1Km(μεχρι τη γέφυρα) σε χρόνο έστω t
Άρα Vρ= s/t= 1/t ή t=1/ Vρ (1)
Ο ίδιος χρόνος t για τον κολυμβητή αντιστοιχεί σε:
(1/2)+ 1/(Vκ+Vρ) +(1/2)*(Vκ-Vρ)*1/(Vκ+Vρ) (2)
Άρα εξισώνοντας τις (1) και (2) έχουμε: 1/Vρ=(½)+ 1/(Vκ+Vρ) +(Vκ-Vρ)/(2*(Vκ+Vρ))
Αυτή τελικά γίνεται:
(Vκ +1)/(Vκ+Vρ)= 1/Vρ
Μια λύση είναι Vκ=0 (που δεν μπορεί να ισχύει)
Άρα αναγκαστικά (για Vκ > 0) μοναδική λύση : Vρ=1 (Km/h)

Ανώνυμος είπε...

έστω v η ταχύτητα κολυμβητή , vνερ η ταχύτητα ροής και t o χρόνος επιστροφής στη γέφυρα(κολυμβητής παράλληλα με τη ροή) και χ η απόσταση που διανύεται το μισάωρο μετά τη συνάντηση με το φελό

Ισχύουν οι 3 εξισώσεις

χ=(v-vνερού)*0,5 (1) (αντίθετα στη ροή)

χ+1=(v+vνερού)*t (2)

1=vνερού*(t+0,5)(3) (η συνάρτηση του φελού)


Αφαιρούμε την (1) από τη (2) και έχουμε

1=v*(t-0,5)+vνερού*(0,5+t)

Λογώ (3) v*(t-0,5)=0

Άρα t=0,5

Oπότε από (3) προκύπτει

vνερού=1/(0,5+0,5)=1km/h

batman1986

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή και πολύ ωραία αναλύμενη.

Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.

Ανώνυμος είπε...

Ωραία και η σκέψη του Ριζόπουλου.Εγώ κατεύθειαν κατέστρωσα τις εξισώσεις(δεν το σκέφτηκα "έξυπνα")

batman1986

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes