Πέμπτη, 6 Δεκεμβρίου 2012

Ο Στόχος


Η πιθανότητα ένας πύραυλος, ο οποίος έχει προγραμματισθεί, να πετύχει έναν στόχο είναι 6%. Πόσους πυραύλους πρέπει να εκτοξεύσουμε ώστε να είμαστε 99% σίγουροι ότι τουλάχιστον ένας πύραυλος θα πετύχει τον στόχο; (Κατ.33/Νο.22)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. H πιθανότητα επιτυχίας ενός πυραύλου είναι 6% ή αλλιώς 0,06 Αν στείλουμε 2 πυραύλους ταυτόχρονα P(επιτυχίας)= 0,06^2 ή P(επιτ.)=0,06^ν είναι οι πιθανότητες αν εκτοξευθούν 2 και ν πύραυλοι αντίστοιχα να πετύχουν ΟΛΟΙ τον στόχο. Το συμπληρωματικό πιθανοτικώς γεγονός είναι η αποτυχία P(αποτυχίας)=1-P(επιτ.)= 1-0,06= 0,94 Άρα η πιθανότητα ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας πύραυλος να κτυπήσει το στόχο δίνεται από τη σχέση: 1 - 0,94^v Θέλουμε "βεβαιότητα" επιτυχίας 99% που σημαίνει 1- 0,94^ν = 0,99 ή 0,94^ν = 0,01 Αυτή η εξίσωση (της μορφής a^x=b) έχει τη γενική λύση ν= i*(2πk-i*log(b)) / log(a) (k ακέραιος). Στην περίπτωσή μας (για πραγματικές θετικές λύσεις) γίνεται ν= log (0,01)/log(0,94)= 74,426 EΠΑΛΗΘΕΥΣΗ: 0,94 ^ 74 = 0,0102674 0,94 ^ 75 = 0,00965137 Aρα, όντως απαιτούνται 75 πύραυλοι. Άρα πρέπει να εκτοξεύσουμε ταυτόχρονα 75 πυραύλους για να έχουμε επιτυχία με το ζητούμενο διάστημα εμπιστοσύνης. ΥΓ. "log" νοώ τον φυσικό λογάριθμο Nα διευκρινίσω κάτι ως προς τη σχέση που οδηγεί στη λύση: Η έκφραση "τουλάχιστον ένας πύραυλος βρίσκει το στόχο" είναι ισοσύναμη με την "δεν αστόχησαν ΟΛΟΙ" Έτσι η P(αστόχησαν όλοι) + P(δεν αστόχησαν όλοι)=1 (=βεβαιότητα) Άρα P(δεν αστόχησαν όλοι)= 1- P(αστόχησαν όλοι) Άρα P(τουλ. ένας βρίσκει στόχο)= 1- P(αστόχησαν όλοι)

5 σχόλια:

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

H πιθανότητα επιτυχίας ενός πυραύλου είναι 6% ή αλλιώς 0,06
Αν στείλουμε 2 πυραύλους ταυτόχρονα P(επιτυχίας)= 0,06^2. Για ν πυραύλους P(επιτ.)=0,06^ν
Το συμπληρωματικό πιθανοτικώς γεγονός είναι η αποτυχία
P(αποτυχίας)=1-P(επιτ.)= 1-0,06= 0,94
Άρα η πιθανότητα ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας πύραυλος να κτυπήσει το στόχο δίνεται από τη σχέση:
1 - 0,94^v Θέλουμε "βεβαιότητα" επιτυχίας 99% που σημαίνει 1- 0,94^ν = 0,99 ή 0,94^ν = 0,01
Αυτή η εξίσωση (της μορφής a^x=b) έχει τη γενική λύση ν= i*(2πk-i*log(b)) / log(a) (k ακέραιος).
Στην περίπτωσή μας (για πραγματικές θετικές λύσεις) γίνεται ν= log (0,01)/log(0,94)= 74,426

Άρα πρέπει να εκτοξεύσουμε ταυτόχρονα 75 πυραύλους για να έχουμε επιτυχία με το ζητούμενο διάστημα εμπιστοσύνης.
ΥΓ. "log" νοώ τον φυσικό λογάριθμο

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Nα διευκρινίσω κάτι ως προς τη σχέση που οδηγεί στη λύση:
Η έκφραση "τουλάχιστον ένας πύραυλος βρίσκει το στόχο" είναι ισοσύναμη με την "δεν αστόχησαν ΟΛΟΙ"
Έτσι η P(αστόχησαν όλοι) + P(δεν αστόχησαν όλοι)=1 (=βεβαιότητα)
Άρα P(δεν αστόχησαν όλοι)= 1- P(αστόχησαν όλοι)
Άρα P(τουλ. ένας βρίσκει στόχο)= 1- P(αστόχησαν όλοι)

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

"Ό,τι θυμάμαι, χαίρομαι!" θα πείτε ..και θάχετε δίκιο! :-)
EΠΑΛΗΘΕΥΣΗ:
0,94 ^ 74 = 0,0102674
0,94 ^ 75 = 0,00965137

Aρα, όντως απαιτούνται 75 πύραυλοι.

Papaveri είπε...

Αγαπητέ Γιώργο, αν και δεν είμαι γνώστης των Πιθανοτήτων, η ανάλυση που έκανες είναι πολύ κατατοπιστική.
Θα ήθελα να γραφείς ως μέλος του ιστολογίου μου.
Φιλικά,
Carlo (Papaveri)

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Καλημέρα! Να διευκρινίσω προς αποφυγή παρερμηνειών, μία μάλλον ατυχή διατύπωση στη δεύτερη σειρά του αρχικού μου σχολίου. P(επιτυχίας)=0,06^2 ή P(επιτ.)=0,06^ν είναι οι πιθανότητες αν εκτοξ. 2 και ν πύραυλοι αντίστοιχα να πετύχουν ΟΛΟΙ τον στόχο.

P.S.Αγαπητέ Κάρλο, μέλος του ιστολογίου σου είμαι εδώ και καιρό, όχι;
Και φανατικός αναγνώστης που ενίοτε παριστάνω και τον "λύτη" :-)
Άντε ώρα για κανα καινούργιο προβληματάκι! Σαββατοκύριακο μπροστά.. :-)

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes