Τρίτη, 25 Δεκεμβρίου 2012

Ο Αριθμός

Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός, στον οποίο εάν το δεξί ψηφίο το τοποθετήσουμε αριστερά, π.χ. έστω ο αριθμός «87», εάν τοποθετήσουμε το ψηφίο «7» αριστερά γίνεται «78», ο νέος αριθμός που σχηματίζεται θα είναι κατά 50% μεγαλύτερος από τον αρχικό αριθμό. 

14 σχόλια:

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

XΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΕ ΟΛΟΥΣ!
Πολύ ενδιαφέρον και δύσκολο πρόβλημα! Αρχικά με δοκιμές εντόπισα κάποιες προσεγγίσεις (αλλά όχι λύσεις! Μόνο προσεγγίσεις.) π.χ 321/213 =1,5070 ή 3214/2143=1,4997
Η λύση τελικά έρχεται από τις ιδιότητες των πρώτων και τα ανάγωγα κλάσματα που δίνουν περιόδους επαναλαμβανόμενων αριθμών (recurring fractions) με παρανομαστή πρώτο αριθμό. Αν υπάρχει κλάσμα τέτοιο πρέπει τα επαναλαμβανόμενα ψηφία να είναι σε αριθμό κατά ένα λιγότερα του πρώτου του κλάσματος. (και ως εκ τούτου θα είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους και κάθε επαναλαμβανόμενο ψηφίο θα εμφανίζεται, μετά την υποδιαστολή ,μία μόνο φορά για ν/p όπου p > ν > 0 και p=prime (πρώτος), ν φυσικός>0)
Ο μικρότερος πρώτος μ’αυτή την ιδιότητα είναι ο 7 (6 επαναλαμβανόμενα ψηφία).
1/7= 0, 142857 142857 142857…. Παρατηρούμε όντως ότι 2/7=0,285714 285714…
3/7= 0.428571 428571… (κυκλικές μεταθέσεις ψηφίων κατά μία θέση)
Γενικά, πρέπει να εντοπιστεί το ζεύγος ψηφίων κ , κ+1 για το οποίο ισχύει κ/(κ+1)=1,5
Τα 6 επαναλαμβανόμενα ψηφία θέσης 1 2 3 4 5 6 έχουν στην περίπτωσή μας (αντιστοιχούν στην αύξουσα σειρά
1 2 4 5 7 8) τη διάταξη 1 3 2 6 4 5 (ταυτ. με 1 4 2 8 5 7)
Το ψηφίο υπ’αριθμ κ+1 = 3(στην 3η θέση από αριστερά) ακολουθεί το ψηφίο κ=2 (3/2=1,5), άρα το 3o ψηφίο της περιόδου μας έχει την ιδιότητα που θέλουμε (το 2 στο 14-2857)
Άρα ο αριθμός που ψάχνουμε είναι ο 285714. Δεν μπορεί να υπάρχει μικρότερος.
Όντως 285714 * 1,5= 428571
Βλέπουμε επίσης ότι στο 1 3 2 6 4 5 ό 4 ακολουθει το 6 (6/4= 1,5) άρα ο επόμενος αριθμός που επίσης έχει την ιδιότητα που ψάχνουμε είναι ο αντίστοιχος για τη θέση που είναι το 4 (5η) και είναι ο 5. Άρα για τον 571428 επίσης ισχύει 571428* 1,5= 857142
Δεν διερεύνησα για επόμενους πρώτους p οι οποίοι έχουν p-1 επαναλαμβανόμενα ψηφία και που παρουσιάζουν ίσως την κατάλληλη σχέση μεταξύ των ψηφίων των περιόδων τους, τι συμβαίνει.
Πιθανόν ο επόμενος αριθμός με την ίδια ιδιότητα να απέχει πάρα πολύ. Ίσως και να μην υπάρχει (;)

Ανώνυμος είπε...

Χα!Έχω λύσει ένα παρόμοιο γρίφο (έλεγε διπλάσιο αντί για 50%) σε άλλο μπλογκ.Εφόσον ουσιαστικά τον γνωρίζω δεν θα τον μαρτυρήσω και θα περιμένω να δω τι θα κάνουν οι άλλοι(αν και δύσκολος θα τα καταφέρουν, είμαι σίγουρος)

Θα περιμένω τον επόμενο δύσκολο γρίφο :)

batman1986

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...


Διευκρινιστικά ,για τα κλάσματα των πρώτων της μορφής 1/p, 2/p,… (p-1)/p που έχουν ισομεγέθεις «μοναδικές αλυσίδες» επαναλαμβανόμενων ψηφίων ανά τακτά διαστήματα
Η Γενική σχέση που ισχύει αν p είναι ο πρώτος αριθμός, κ ο αριθμός των μοναδικών αλυσίδων που υπάρχουν για όλα τα 1/p, 2/p,… (p-1)/p και μ το μήκος της αλυσίδας είναι
κ*μ=p-1
Στο πρόβλημά μας μάς ενδιαφέρουν λοιπόν οι περιπτώσεις όπου κ=1 (μία αλυσίδα) και έτσι μ=p-1

ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΓΙΑ ΕΠΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗ ΣΥΝΘΗΚΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
Για τον επόμενο από το 7 πρώτο ,τον 11, ισχύει:
5 *2= 11-1
5 αλυσίδες των 2ψηφίων (1/11 = 0,09 09 09…, 2/11= 0,181818…, 3/11= 0,27 27 27… , 4/11 =0,363636.. , 5/11 = 0,454545.. 6/11= 0,545454… κλπ)
Για τον 13 ισχύει:
2 αλυσίδες των 6 (076923 και 153846)

Για τον 17 έχουμε την πρώτη « κρίσιμη» περίπτωση
1 αλυσίδα των 16 ψηφίων
0588235294117647 . Η σχέση όμως για να βγαίνει το 1.5 που θέλουμε ,δεν υπάρχει.
Για τον 19 επίσης μία αλυσίδα 18 ψηφίων
052631578947368421. Πάλι δεν υπάρχει.
Για τον 23 επίσης 1 Χ 22
0434782608695652173913 . Πάλι όχι
Για τον 29 (1 Χ 28)
0344827586206896551724137931. Πάλι όχι.
Παρακάτω δεν προχώρησα. Ίσως κάποιος φίλος αν έχει όρεξη μπορεί να διερευνήσει περαιτέρω.
Τα παραπάνω σημαίνουν ότι μέχρι και τον πρώτο 29 (τουλάχιστον) δεν υπάρχει αριθμός που να έχει δύο συνεχόμενα ψηφία με την επιθυμητή ιδιότητα, άρα δεν υπάρχει άλλος αριθμός σαν τον 285714 μέχρι –τουλάχιστον- 30-ψήφιο αριθμό . (ο επόμενος πρώτος είναι το 31)

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Με βάση τα παραπάνω σχόλιά μου, το πρόβλημα που αναφέρει ο Μπάτμαν για την περίπτωση του διπλάσιου αριθμού (κ /κ+1 =2) ο μικρότερος ακέραιος βάσης 10 για τον οποίον ισχύει, πρέπει να είναι ο (0)52631578947368421 .Περίπτωση p=19 (1 αλυσίδα 18 ψηφίων: 052631578947368421 , διατεταγμένο ζεύγος {..10 5..}
52631578947369421 * 2 = 105263157894736842
Ας μας πει –αν θέλει- ο Μπάτμαν τον τρόπο με τον οποίο το έλυσε αυτός.

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
Κι' εγώ αυτή την απορία έχω. Πως το έλυσε, διότι παιδεύομαι από χθες και δε βρίσκω άκρη. Χρησιμοποίησα και εξισώσεις με απροσδιόριστους αγνώστους και δεν βρήκα κάποια λύση.

Ανώνυμος είπε...

@papaveri και Rizopoulos

Σωστά ο αριθμός είναι 18ψηφιος.Υπάρχουν συνολικά 8

Εγώ βρήκα με δοκιμές(δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται .Η λύση "κατασκευάζεται") αυτή την περίπτωση

210526315789473684=2* (105263157894736842)

Υπάρχουν άλλες 7 λύσεις.Η παραπάνω είναι η μικρότερη

Άλλος τρόπος είναι να κατασκευάσεις ένα γενικό τύπο και με τη βοήθεια του excel να βρεθούν αυτοί οι 8 αριθμοί....

δηλαδή

χ*10^ν+ψ = 2*(10*ψ+χ) όπου

χ το αρχικό ψηφίο, ν η τάξη του χ και ψ η ακολουθία-άθροισμα των υπόλοιπων ψηφίων

κάνω κάποιες απλοποιήσεις(λύνω ως προς ψ και αντικαθιστώ στον αρχικό αριθμό) και εν συνεχεία δοκιμάζω ακέραιες τιμές στο χ και για καθεμιά από αυτές στο ν.όλα αυτά φυσικά στο εξέλ

Άρα υπάρχουν 3 τρόποι λύσης λοιπόν.Αυτή του Ριζόπουλου με τα κλάσματα(ευφάνταστη) και η δικιά μου με δοκιμές(γίνονται στο χαρτί).Και η κατασκευαστική-αλγεβρική (που μου την προτείνανε) η οποία βγαίνει μόνο με εξέλ(αλλιώς είναι μεγάλη ταλαιπωρία)

υ.γ.
Στη δικιά μου ξεκινάμε με μια υπόθεση και κάνουμε διαδοχικές προσθέσεις μέχρι να βρεθεί η σωστή αλληλουχία.Παρότι το μέγεθος είναι τρομαχτικό η λύση "κατασκευάζεται "απλά αν οδηγηθούμε στη σωστή αλληλουχία και κλείσει ο αριθμός χωρίς να επαναλαμβάνονται με loop κάποια σειρά ψηφίων επ άπειρον.

Μπορεί να θεωρείται μπακάλικη αλλά είναι πιο εύκολη από την αλγεβρική (κατ εμένα) και μπορεί να καταλήξει κάποιος και στους 8
αριθμούς μόνο με μολύβι και χαρτί.


Για μια ακόμη φορά μπράβο στο Ριζόπουλο για το σκεπτικό του και την φαντασία του!!

batman1986

Papaveri είπε...

@batman1986
Μπορείς να μου στείλεις τη λύση της εξισώσεως που αναφέρεις και τη σημαίνει "ν", διότι δεν μπορώ να κατανοήσω τη λύση που δίνεις.

Ανώνυμος είπε...

@papaveri

Eίναι 8 οι λύσεις και προκύπτει από τις δοκιμές βάζοντας τον τύπο σε excel όπως ανέφερα.Δεν ξέρω αν την έχω θα ψάξω το μειλ που μου στείλαν.Γιατί εγώ δεν την έλυσα αλγεβρικά αλλά με δοκιμές...Πάντως ο τύπος είναι αυτός που αναφέρω και επεξηγώ τα σύμβολα.Εν συνεχεία γίνονται κάποιες απλοποιησεις.Λύνω ως προς ψ και αντικαθιστώ στον αρχικό τύπο και έχουμε μόνο τα χ και ν άγνωστους.Και εν συνεχεία κάνω δοκιμές με ακέραιους ν και χ μέχρι να βγει το ζητούμενο...Κάπως έτσι

batman1986

Ανώνυμος είπε...

@papaveri

Α το ν που με ρώτησες είναι η τάξη του 1ου ψηφίου που πάει στι τέλος στη συνέχεια.

Π.χ. αν ο αριθμός είναι 6789

γράφεται

6*10^3+7*10^2+8*10+9


Άρα εδώ ν=3


Σπάμε τον αριθμό σε 100-άδες,...,ν-άδες κλπ

batman1986

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Μπάτμαν, σ'ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια, αλλά δέχομαι τους ευμενείς χαρακτηρισμούς μόνο "εξ αδιαιρέτου" που λέμε εμείς οι μπεταζτήδες.:-)

Nikos Lentzos είπε...

Να καταθέσω και εγώ την πρότασή μου, έστω και καθυστερημένα, όχι για τίποτα άλλο αλλά να μην νοιώθουν μπεταζτήδες ο Ριζόπουλος και ο batman.

Ας ονομάσουμε Α τον ζητούμενο αριθμό, ο οποίος πρέπει να είναι τουλάχιστον διψήφιος.
Αυτός θα αποτελείται από δύο τμήματα. Το ένα το ψηφίο των μονάδων ας το ονομάσουμε α και το άλλο με τα υπόλοιπα ψηφία του αριθμού και ας το ονομάσουμε x. Έτσι ο αριθμός γράφεται:
Α=10*x+α
Εάν τοποθετήσουμε το ψηφίο α αριστερά θα προκύψει ο αριθμός, ας τον ονομάσουμε Β και θα γράφεται:
Β= α*10^ν + x, όπου ν είναι το πλήθος των ψηφίων του x .
Επειδή θέλουμε «…ο νέος αριθμός που σχηματίζεται θα είναι κατά 50% μεγαλύτερος από τον αρχικό αριθμό» ισχύει η ισότητα:
Β=150/100*Α ή
2*Β=3*Α ή
2*α*10^ν+2*x = 30 *x +3*α ή
28*x = α*(2*10^ν-3) ή
2*2*7* x = α*(2*10^ν-3)
Ο αριθμός όμως (2*10^ν-3) είναι περιττός , επομένως ο α οφείλει να διαιρείται με το 4
και ως εκ τούτου οι μόνες τιμές που μπορεί να λάβει είναι α=4 ή α=8, και ο 7*x είναι :
7*x = 2*10^ν - 3 ή 7*x = 2*(2*10^ν-3)

Διερεύνηση της πρώτης εξίσωσης 7*x = 2*10^ν - 3 (για α=4)
Επειδή το α΄μέλος είναι πολ/σιο του 7, συμπεραίνουμε ότι : ο αριθμός 2*10^ν-3 πρέπει να είναι πολ/σιο του 7 δηλ.
2*10^ν-3 = 0mod7.
Για ν=1 έχουμε 17=3mod7 (απορ)
για ν=2 έχουμε 197=1mod7(απορ)
για ν=3 έχουμε 1997=2mod7(απορ)
για ν=4 έχουμε 19997=5mod7(απορ)
για ν=5 έχουμε 199997=0mod7 (δεκτή)
Για μεγαλύτερες τιμές του ν θα προκύψει, προφανώς, μεγαλύτερος αριθμός και εμείς επιθυμούμε τον ελάχιστο.
Άρα 7* x = 199947 ή x = 199947/7=28571
και Α=28571*10+4 ή Α=285714 οπότε Β=428571
Επαλήθευση Α*150/100=(2/3)*285714=428571=Β

Διερεύνηση της δεύτερης εξίσωσης 7*x = 4*10^ν - 6 (για α=8)
Για ν=1 έχουμε 36=1mod7 (απορ)
για ν=2 έχουμε 396=2mod7(απορ)
για ν=3 έχουμε 3996=4mod7(απορ)
για ν=4 έχουμε 39996=3mod7(απορ)
για ν=5 έχουμε 39996=0mod7 (δεκτή)
Για μεγαλύτερες τιμές του ν θα προκύψει, προφανώς, μεγαλύτερος αριθμός και εμείς επιθυμούμε τον ελάχιστο.
Άρα 7* x = 39996 ή x = 39996/7=57142
και Α=57142*10+8 ή Α=571428 οπότε Β=857142
Επαλήθευση Α*150/100=(2/3)* 571428=857142=Β
Η λύση αυτή Α=571428 πρέπει να απορριφθεί γιατί η προηγουμένη Α=285714 είναι η ελάχιστη.
Η απάντηση λοιπόν στον γρίφο είναι ο αριθμός Α=285714
Υ.Γ πολύ ωραίος ο γρίφος και ευρηματικοί οι .. .μπετατζήδες.
Πάντα τέτοια και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ.

Χρόνια πολλά σε όλους
Νίκος Λέντζος

Nikos Lentzos είπε...

ΔΙΟΡΘΩΣΗ:
(ο δαίμων του copy-paste γαρ )

..........
Άρα 7* x = 199997 ή x = 199997/7=28571
και Α=28571*10+4 ή Α=285714 οπότε Β=428571
Επαλήθευση Α*150/100=(2/3)*285714=428571=Β
............

Ανώνυμος είπε...

@Ριζόπουλος

Φαίνεσαι πολύ ψαγμένος!Ασχολιόσουν και με μαθηματική εταιρεία καθόλου?Επίσης δεν σ έχω ρωτήσεις αν είσαι Πολ. μηχ. ΕΜΠ.Θα ξέρεις και καθηγητές μου


batman1986

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

@Μπάτυ: Nαι, είμαι (και)Ε.Μ.Π
Πιθανώς να ξέρω καθηγητές σου. Ίσως κάποιοι να ήταν και συμφοιτητές μου :-), δεδομένου ότι κάποιοι δικοί μου καθ. έχουν πεθάνει.. (γεροντάρα ο δικός σου!)
Μαθηματρική εταιρεία όχι. Είμαι των εφαρμοσμένων μαθηματικών.
Κάποτε μαθητής ,θυμάμαι οτι ειχα δωσει σ'ενα διαγωνισμό. Νόμιζα ότι τάγραψα όλα, κάποιο θέμα το είχα λύσει σε μια σειρά , νόμιζα ότι θα πάρω το μετάλιο Φιλντς..
Δεν έμαθα ποτέ το αποτέλεσμά μου και δεν ξαναασχολήθηκα. :-)

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes