Σάββατο, 22 Δεκεμβρίου 2012

Τα Μηνύματα

Σε μια τάξη, ενός σχολείου, κάθε μαθητής έστειλε ένα SMS σε καθέναν από τους άλλους μαθητές της τάξης του. Συνολικά τα μηνύματα ήταν 240. Από πόσους μαθητές αποτελείται αυτή η τάξη; (Κατ.34/Νο.538)

Λύση

Η τάξη αποτελείται από 16 μαθητές. Αν «x» (με x>0) είναι οι μαθητές της τάξης, τότε ο κάθε μαθητής έστειλε (x-1) μηνύματα και όλοι οι μαθητές μαζί έστειλαν: x*(x-1)=240 --> x^2-x=240 --> x^2-x-240=0. Αυτή έχει ρίζες: x =16 (δεκτή) x = -15 (απορρίπτεται) Επαλήθευση: x*(x-1)=240 --> 16(16-1)=240 --> 16*15=240 ο.ε.δ.

8 σχόλια:

Ανώνυμος είπε...

Αν ν (με ν>0) είναι οι μαθητές του σχολείου τότε ο κάθε μαθητής έστειλε ν-1 μηνύματα και όλοι ν(ν-1)=240.
Αυτή έχει ρίζεσ ν=16 δεκτή και ν=-15(απορρίπτεται).
Οι μαθητές λοιπόν ήταν 16.

Ν.Lntzs

Ανώνυμος είπε...

Προκύπτει ότι καθένας από τους ν μαθητές στέλνουν ν-1 μηνύματα

Άρα ν*(ν-1)=240

Η εξίσωση έχει θετική λύση για ν=16

Αφού 16*15=240

Άρα η τάξη έχει 16 μαθητές

batman1986

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Kαλημέρα!
Έστω ν ο αριθμός που ψάχνουμε. Ο πρώτος στέλνει ν-1 SMS . Ο επόμενος ν-2 , κλπ.
(ν-1)+(ν-2)+(ν-3)+….+2+1= ν*(ν-1)/2 (ο τύπος του αθροίσματος σειράς)
Αλλά τα SMS στέλνονται εκατέρωθεν ,οπότε τελικά ο αριθμός τους (240) είναι ο διπλάσιος .
Άρα ν*(ν-1)/2 *2= ν^2-ν. ν^2-ν=240
ν^2-ν-240=0 Η θετική λύση αυτής της δευτερ. Εξίσωσης είναι ν=16 (μαθητές)
ΥΓ. Υπάρχουν κι άλλοι τρόποι να οδηγηθούμε στη λύση. Π.χ το πρόβλημα είναι ανάλογο της εύρεσης του αριθμού των (διαγωνίων + πλευρών) σ’ένα ν-γωνο.
Ή με συνδυαστική. Οι συνδυασμοί μεταξύ ν στοιχείων που λαμβάνονται ανά μ δίνεται από τον τύπο ν!/(μ!*(ν-μ)!) . Στην περίπτωσή μας μ=2 και ο τύπος για ν=16 δίνει 120 (Χ 2=240)

Γιώργος Ριζόπουλος είπε...

Προφανώς η διατύπωσή μου "Ο πρώτος στέλνει ν-1 SMS . Ο επόμενος ν-2 , κλπ.." είναι ατυχής. Εννοούσα βέβαια ότι αν επικοινωνούσαν με 1 μόνο Sms μεταξύ τους , θα ίσχυε αυτό. Άρα επι 2 = το αποτέλεσμα.
Ασφαλώς βέβαια περιφραστικός τρόπος να πω το προφανές ν*(ν-1) :-)

Papaveri είπε...

@Ν.Lntzs
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.:-)

Papaveri είπε...

@batman1986
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.:-)

Papaveri είπε...

@Γιώργος Ριζόπουλος
καλησπέρα!
Συγχαρητήρια! Η απάντησή σου είναι σωστή.:-)

Ανώνυμος είπε...

@Ριζόπουλος

"Προφανώς η διατύπωσή μου "Ο πρώτος στέλνει ν-1 SMS . Ο επόμενος ν-2 , κλπ.." είναι ατυχής. "

Μάλλον και συ σκεφτόσουν διαφοερτικό πρόβλημα!Αν επικοινωνούσαν με 1 SMS o καθένας.Και γω αυτό πήγα να απαντήσω αλλά ήταν ακόμα πιο απλό τελικά

batman1986

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes