Ο Αριθμός

Ο Κώστας και ο Γιάννης παίζουν το εξής παιγνίδι:
Ο Κώστας γράφει σ’ ένα χαρτί  τον αριθμό 100 και ανεβαίνει τους αριθμούς
ανά 3: 100,103,106,109, ...,n.
Ο Γιάννης ξεκινάει συγχρόνως με το Κώστα και γράφει σ’ ένα χαρτί τον 
αριθμό 800 και κατεβαίνει τους αριθμούς ανά 4: 800, 796, 792, 788, ...,n.
Ποιον αριθμό θα γράψουν συγχρόνως και τα δύο παιδιά και πότε θα συμβεί 
αυτό (σε ποιο βήμα); (Κατ.3/Νο.23) 
Πηγή:http://savalas.gr/pr2/21250.pdf (Πρόβλημα 11^ο)

Λύση

Λύση του N.Lntzs. O ζητούμενος αριθμός είναι ο ν-οστός όρος των δύο αριθμητικών προόδων: (αν) με α1=100, ω1=3 και (βν) με β1=800, ω2=-4 οπότε: αν=βν <-->100+3*(ν-1)=800-4*(ν-1) <--> ν-1=100 <--->ν=101 Οπότε n = α101 = β101 = 400 Λύση του batman1986. 3κ+100=800-4λ Για κ = λ 7λ=700 --> λ=700/7 --> άρα λ=100 Οπότε αυτό θα γίνει στο 100ο βήμα και θα είναι ο αριθμός 400 Λύση του Papaveri. Οι αριθμοί 100 και 800 διαφέρουν κατά 800 −100 = 700 . Επειδή 3 + 4 = 7, καταλαβαίνουμε ότι κάθε στιγμή που και οι δύο γράφουν έναν αριθμό, η διαφορά 700, που είχαν οι αρχικοί αριθμοί 100 και 800, μειώνεται κατά 7. Ας το δούμε: 800 −100 = 700 , 796 −103 = 693 , 792 −106 = 686 , … Αφού λοιπόν ο αριθμός 800 ελαττώνεται διαρκώς κατά 7, η διαφορά αυτή θα μηδενιστεί σε 700 : 7 =100 βήματα. Αλλά σε 100 βήματα: Ο Κώστας θα γράψει τον αριθμό 100 + (3 *100) = 400 και Ο Γιάννης θα γράψει τον αριθμό 800 − (4 *100) = 400. Άρα και οι δύο θα γράψουν συγχρόνως τον αριθμό 400 και αυτό θα συμβεί μόλις γράψουν και οι δύο τον εκατοστό στη σειρά αριθμό, χωρίς όμως να μετρήσουμε τους αριθμούς 100 και 800.