Σχέδιο Νίκης

Στον πίνακα είναι γραμμένοι όλοι οι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως το 500.
Δύο μαθητές ο «Α» και ο «Β» παίζουν το εξής παιχνίδι:
«Με τη σειρά διαγράφουν ο ένας μετά τον άλλο από έναν αριθμό. Το 
παιχνίδι τελειώνει όταν στον πίνακα απομείνουν δύο αριθμοί.»
Εάν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν διαιρείται με το 3, νικητής 
είναι ο «Β».
Εάν το άθροισμα των αριθμών που απομένουν δεν διαιρείται με το 
3,νικητής είναι ο «Α».
Εάν ο «Α» αρχίσει πρώτος, ο «Β» μπορεί να διμηουργήσει μια στρατηγική 
νίκης; (Κατ.3/Νο.27) 
Πηγή:Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Αρχιμήδης 2001"
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_6264.html

Λύση

Λύση του Γ Ριζόπουλου. Σο=[(α+τ)*ν]/2 --> Σο=[(1+500)500]/2 --> Σο=(500*501)/2=125250=0mod3. Υπάρχουν 250 ζεύγη με άθροισμα 501: (1+500=501), (2+499=501),(3+498=501),...,(250+251=501), 501/3=167 =0mod3. Oπότε ο «Β» παίκτης έχει νικητήρια στατηγική επιλέγοντας το ταίρι σε κάθε ζεύγος. Ο «Α» επιλέγει δηλαδή οποιονδήποτε αριθμό «κ» , και ο «Β» επιλέγει τον «501-κ», αφήνοντας το άθροισμα αμετάβλητο «mod3», δηλαδή, «0mod3». Π.χ. Εάν ο «Α» διαγράψει τον αριθμό 3 , ο «Β» διαγράφει τον αριθμό 498 (500-3=498), κ.λ.π. Λύση του Ε. Αλεξίου. 1+2+3+..+500=125250, 125250=0 mod 3, 500/3=166.6666, άρα υπάρχουν 166 αριθμοί που διαιρούνται με το 3(0mod3) και συνεπώς 167 αριθμοί 1mod3(166αρ και το 1) και 167 αριθμοί 2mod3(166 αρ. και το 2) Με βάση τα παραπάνω δεδομένα και το ότι ο «Β» παίζει 2ος ακολουθεί την παρακάτω στρατηγική: Aνάλογα με τον αριθμό που θα διαγράφει ο «Α», ο «Β» θα διαγράφει αριθμό έτσι που το άθροισμα των υπόλοιπων αριθμών να είναι 0 mod 3, πχ αν ο «Α» αριθμό 0 mod 3 o «Β» διαγράφει επίσης 0 mod 3, αν ο «Α» διαγράψει 1 mod 3 ή 2 mod 3 ο «Β» θα διαγράψει 2 mod 3 ή 1 mod 3 αντίστοιχα, έτσι οι 2 τελευταίοι αριθμοί ή θα είναι και οι δύο 0 mod 3, άρα άθροισμα 0 mod3 + 0 mod 3 = 0 mod 3 ή ένας 1 mod 3 και ένας 2 mod 3, άρα άθροισμα 1 mod3 + 2 mod 3 =3 mod 3=0 mod 3. Σε κάθε περίπτωση ο «Β» είναι ο νικητής.