Δευτέρα, 9 Ιουνίου 2014

Οι Πωλήσεις

Την χρονιά που μας πέρασε (2013) ένα βιβλιοπωλείο πούλησε συνολικά 600 βιβλία Μαθηματικών. Το βιβλιοπωλείο ήταν ανοικτό και τις 7 μέρες κάθε εβδομάδας και πουλούσε τουλάχιστον ένα βιβλίο Μαθηματικών τη μέρα. Είναι αλήθεια ότι υπήρξε μια περίοδος από διαδοχικές ημέρες όπου πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία; (Κατ.34/Νο.702)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Ωραίο αριθμοθεωρητικό πρόβλημα! Φωνάζει μεν πως είναι εφαρμογή της αρχής του Ντίριχλετ (Περιστερώνας), αλλά η τεχνική απόδειξη δεν είναι τόσο απλή υπόθεση. Ας ονομάσουμε π(ν) τις αθροιστικές/ανακεφαλαιωτικές πωλήσεις βιβλίων στη νιοστή μέρα. Έχουμε προφανώς: π(ν-1) < π(ν) , π(365)=600 ,και ν μεταξύ 1 και 365.Ισχύει: 1 ≤ π(1) < π(2) < π(3) <…< π(365) (1) Προσθέτοντας 129 στις ανισότητες της (1),έχουμε: 130 ≤ π(1)+129 < π(2)+129 < … < π(365)+129 = 729 (2) Οι ακέραιοι: π(1), π(2),…π(365) είναι 365 διακριτοί (διαφορετικοί μεταξύ τους) ακέραιοι. Ομοίως και οι : π(1)+129, π(2)+129,…,π(365)+129. Άρα τα στοιχεία του συνολου Α={π(1),π(2)…,π(365), π(1)+129,…,π(365)+129} που έχει Card(A)=2*365=730 (δηλαδή έχει 730 στοιχεία) παίρνουν τιμές από 1 ως και το 729. Από Περιστερώνα, έπεται πως 2 στοιχεία πρέπει να είναι ίσα. Τα π(ν) (ν=1,2,…,365) όμως,όπως προείπα, είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, όπως είναι διαφορετικά μεταξύ τους και τα π(ν)+129 (ν=1,2,…,365), οπότε υποχρεωτικά κάποιο από τα π(ν) ισούται με κάποιο από τα π(ν)+129. Έστω λοιπόν πως: π(i)=π(m)+129 ,με 1 ≤ m < i ≤365 Eπομένως, στο χρονικό διάστημα μεταξύ της (m+1)μέρας και της i-στής (συμπεριλαμβανομένης της μέρας i ) πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία. (αφού π(i) –π(m)=129 ). Quod Erat Demonstrandum. YΓ. Προφανώς , με τον ίδιο τρόπο ,μπορούμε να δείξουμε πως οποιοσδήποτε αριθμός βιβλίων μεταξύ 1 και 600 πουλήθηκαν σε κάποιο συνεχόμενο χρονικό διάστημα ημερών από 1 έως 365.

4 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Ωραίο αριθμοθεωρητικό πρόβλημα! Φωνάζει μεν πως είναι εφαρμογή της αρχής του Ντίριχλετ (Περιστερώνας), αλλά η τεχνική απόδειξη δεν είναι τόσο απλή υπόθεση.
Ας ονομάσουμε π(ν) τις αθροιστικές/ανακεφαλαιωτικές πωλήσεις βιβλίων στη νιοστή μέρα.
Έχουμε προφανώς: π(ν-1) < π(ν) , π(365)=600 ,και ν μεταξύ 1 και 365.
Ισχύει:
1 ≤ π(1) < π(2) < π(3) <…< π(365) (1)
Προσθέτοντας 129 στις ανισότητες της (1),έχουμε:
130 ≤ π(1)+129 < π(2)+129 < … < π(365)+129 = 729 (2)
Οι ακέραιοι: π(1), π(2),…π(365) είναι 365 διακριτοί (διαφορετικοί μεταξύ τους) ακέραιοι.
Ομοίως και οι : π(1)+129, π(2)+129,…,π(365)+129.
Άρα τα στοιχεία του συνολου
Α={π(1),π(2)…,π(365), π(1)+129,…,π(365)+129} που έχει
Card(A)=2*365=730 (δηλαδή έχει 730 στοιχεία) παίρνουν τιμές από 1 ως και το 729.
Από Περιστερώνα ,έπεται πως 2 στοιχεία πρέπει να είναι ίσα.
Τα π(ν) (ν=1,2,…,365) όμως,όπως προείπα, είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, όπως είναι διαφορετικά μεταξύ τους και τα π(ν)+129 (ν=1,2,…,365), οπότε υποχρεωτικά κάποιο από τα π(ν) ισούται με κάποιο από τα π(ν)+129.
Έστω λοιπόν πως:
π(i)=π(m)+129 ,με 1 ≤ m < i ≤365
Eπομένως, στο χρονικό διάστημα μεταξύ της (m+1)μέρας και της i-στής (συμπεριλαμβανομένης της μέρας i ) πουλήθηκαν ακριβώς 129 βιβλία. (αφού π(i) –π(m)=129 ).
Quod Erat Demonstrandum.
YΓ. Προφανώς , με τον ίδιο τρόπο ,μπορούμε να δείξουμε πως οποιοσδήποτε αριθμός βιβλίων μεταξύ 1 και 600 πουλήθηκαν σε κάποιο συνεχόμενο χρονικό διάστημα ημερών από 1 έως 365.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Συγχαρητήρια! Ωραία ανάλυση έκανες του προβλήματος. Υπάρχει άλλος τρόπος ποιο κατανοητός για μένα. Λόγω αποχής πολλών ετών από τα μαθηματικά δεν μπορώ να την κατανοήσω.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Kάρλο, σκέψου έναν κατάλογο πωλήσεων. Αφού πουλιέται τουλάχιστον 1 βιβλίο κάθε μέρα ,ο κατάλογος των συγκεντρωτικών πωλήσεων μεγαλώνει. Μέχρι σήμερα ας πουμε έχουμε πουλήσει 30 βιβλία ,αυριο 32 ,μευθαύριο τουλάχιστον άλλο ένα κ.λ.π.
Αυτά είναι τα π(ν) .Ο δείκτης ν δείχνει τον αύξοντα αριθμό της μέρας ,απο΄την 1η έως την 365η.
Αυτές οι πωλήσεις είναι 365 σε αύξουσα σειρά, μέχρι την τελευταία εγγραφή του καταλόγου την τελευταία μέρα του έτους, την π(365) που μας δίνεται πως είναι =600.
Σκέψου τώρα ένα δεύτερο εικονικό μαγαζί που έχει τον ίδιο ακριβώς κατάλογο με τις 365 εγγραφές αλλά καθεμιά είναι προσαυξημένη κατά 129. Κι αυτές 365 εγγραφές. Σύνολο 730. Αλλά π(365)+129=600+129=729 πιθανές διαφορετικές τιμές. Αρα υποχρεωτικά κάποια εγγραφή του 1ου μαγαζιού ταυτίζεται με κάποια του δεύτερου σε άλλη μέρα +129. Αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο. Ένας άλλος τρόπος απόδειξης θα ήταν η Επαγωγή, αλλά νομίζω πως θα ήταν ακόμα πιο φορμαλιστικός.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Γιώργο σ' ευχαριστώ. Τώρα έγινε κατανοητό από μένα.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes