Τρίτη, 24 Ιουνίου 2014

Οι Ρίψεις ΙΙ

Έχουμε ένα νόμισμα, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός των ρίψεων που θα απαιτηθούν, ώστε ο αριθμός των "κορωνών" να ισούται με τον αριθμό των "γραμμάτων", με δεδομένο ότι στην πρώτη ρίψη θα φέρουμε  "γράμματα"; (Κατ.33/Νο.34)

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το πρόβλημα αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον και -παρά την φαινομενική απλότητά του- πολύ δύσκολο, για μένα τουλάχιστον. Παρότι η αναμενόμενη μέση τιμή ρίψεων για να έχω κεφάλι ή γράμματα είναι 1/(1/2)=2 ή 1/p γενικά (για τυχαία πιθανότητα p και 1-p για κορώνα ή γράμματα αντίστοιχα) την ζητούμενη μαθηματική ελπίδα την βρίσκω ,με διάφορες προσεγγίσεις που επιχείρησα, να είναι αποκλίνουσα! Σε όλες τις περιπτώσεις (αν το δούμε σαν ένα random walk,που έτσι είναι) που η απόλυτη τιμή της διαφοράς κεφάλι-γράμματα έχει μια συγκεκριμένη τιμή η ζητούμενη μου. ελπίδα είναι η ίδια. Επίσης, όταν η τρέχουσα διαφορά είναι δ (1 στην αρχική περίπτωση) αυτή η διαφορά μπορεί ισοπίθανα να αυξηθεί ή να μειωθεί με την επόμενη ρίψη. Έστω Ε(δ) ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων που απαιτείται για να έχουμε ισορροπία κεφάλι-γράμ-ματα όταν η διαφορά είναι δ. Ισχύει: Ε(δ)=1+0,5*Ε(δ-1)+Ε(δ+1) Eπίσης,εχουμε: E=1+E(1) και Ε(0)=0 Αρα, Ε=ν+(1/ν)*Ε(ν) Προφανώς για κάθε «ν» το Ε(ν)είναι θετικό, άρα η μαθηματική ελπίδα αποκλίνει! Το αποτέλεσμά μου μού φαίνεται. Δύο δεν μπορεί να είναι ποτέ οι ρίψεις,γιατί δεδομένης της συγκεκριμένης τιμής ("γράμματα") της 1ης θα σήμαινε πως η πιθανότητα η δεύτερη να είναι κορώνα είναι =1, δηλαδή βεβαιότητα, πράγμα που προφανώς δεν ισχύει. Ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων είναι επίσης προφανώς άρτιος. Το "παράδοξο" της άπειρης expectation/αρ.ρίψεων μάλλον προκύπτει από τη φύση του θέματος ως random walk. Είναι βέβαιο-από το θεώρημα κεντρικού ορίου- πως όσο ο αριθμός των ρίψεων μεγαλώνει η απόκλιση της απόλυτης τιμής της διαφοράς μεταξύ γρ. και κεφ. από το 0 μπορεί να γίνει πολύ μικρή ,αλλά κανείς δεν βεβαιώνει πως θα γίνει κάποια στιγμή =0. Είναι μεν πολύ πιθανότερο σε ας απούμε 100.000 ρίψεις να έχουμε 50.004 κεφ. και 49.996 γρ. απ’ ότι ας πούμε να έχουμε 70.000 κεφ. και 30.000 γρ.(για τίμιο νόμισμα) αλλά η μεμονωμένη πιθανότητα p(κορώνα=γράμματα) σε ακριβώς 100.000 ρίψεις είναι πολύ μικρή, όπως βεβαιώνει ο τύπος της διωνυμικής κατανομής.

5 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Το πρόβλημα αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον και -παρά την φαινομενική απλότητά του- πολύ δύσκολο, για μένα τουλάχιστον.
Παρότι η αναμενόμενη μέση τιμή ρίψεων για να έχω κεφάλι ή γράμματα είναι 1/(1/2)=2 ή 1/p γενικά (για τυχαία πιθανότητα p και 1-p για κ ή γ αντίστοιχα)την ζητούμενη μαθηματική ελπίδα την βρίσκω ,με διάφορες προσεγγίσεις που επιχείρησα, να είναι αποκλίνουσα!
Σε όλες τις περιπτώσεις (αν το δούμε σαν ένα random walk,που έτσι είναι)που η απόλυτη τιμή της διαφοράς κεφ-γραμμ. έχει μια συγκεκριμένη τιμή η ζητούμενη μαθ. ελπίδα είναι η ίδια.
Επίσης, όταν η τρέχουσα διαφορά είναι δ (1 στην αρχική περίπτωση) αυτή η διαφορά μπορεί ισοπίθανα να αυξηθεί ή μειωθεί με την επόμενη ρίψη. Έστω Ε(δ)ο αναμενόμενος αρ. ρίψεων που απαιτείται για να έχουμε ισορροπία κεφ-γραμ. όταν η διαφορά είναι δ. Ισχύει:
Ε(δ)=1+0,5*Ε(δ-1)+Ε(δ+1)
Eπίσης,εχουμε:
E=1+E(1) και Ε(0)=0
Αρα, Ε=ν+(1/ν)*Ε(ν)
Προφανώς για κάθε ν το Ε(ν)είναι θετικό, άρα η μαθηματική ελπίδα αποκλίνει!
Το αποτέλεσμά μου μού φαίνεται τελείως αντιδιαισθητικό,άλλωστε είναι γνωστό πως για μεγάλα ν η πιθανότητα ίσων κεφαλιών και γραμμάτων είναι σχεδόν 1, και θα εκτιμούσα μια υπόδειξη πως κάπου λαθεύω.
Μια εναλακτική προσέγγιση(?) είναι μέσω αριθμών Καταλάν
E(x) = 2*Σ 2ν*C(2ν-2)* 1/2^2ν το οποίο αποκλίνει επίσης.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Ναι, είναι πραγματικά δύσκολο πρόβλημα. Δεν ξέρω εάν η λύση που έδωσα είναι ικανοποιητική.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

2 δεν μπορεί να είναι ποτέ οι ρίψεις,γιατί δεδομένης της συγκεκριμένης τιμής ("γράμματα") της 1ης θα σήμαινε πως η πιθανότητα η δεύτερη να είναι κορώνα είναι=1 ,δηλαδή βεβαιότητα, πράγμα που προφανώς δεν ισχύει.
Ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων είναι επίσης προφανώς άρτιος. Το "παράδοξο" της άπειρης expectation/αρ.ρίψεων μάλλον προκύπτει από τη φύση του θέματος ως random walk. Είναι βέβαιο-από το θεώρημα κεντρικού ορίου- πως όσο ο αριθμός των ρίψεων μεγαλώνει η απόκλιση της απόλυτης τιμής της διαφοράς μεταξύ γρ. και κεφ. από το 0 μπορεί να γίνει πολύ μικρή ,αλλά κανείς δεν βεβαιώνει πως θα γίνει κάποια στιγμή =0. Είναι μεν πολύ πιθανότερο σε ας απούμε 100000 ρίψεις να έχουμε 50.004 κεφ. και 49996 γρ. απότι ας πούμε να έχουμε 70000 κεφ. και 30000 γρ.(για τίμιο νόμισμα) αλλά η μεμονωμένη πιθανότητα p(kor=grammata) σε ακριβώς 100000 ρίψεις είναι πολύ μικρή, όπως βεβαιώνει ο τύπος της διωνυμικής κατανομής

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes