Οι Ρίψεις ΙΙ

Έχουμε ένα νόμισμα, ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός των ρίψεων που θα απαιτηθούν, ώστε ο αριθμός των "κορωνών" να ισούται με τον αριθμό των "γραμμάτων", με δεδομένο ότι στην πρώτη ρίψη θα φέρουμε  "γράμματα"; (Κατ.33/Νο.34)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/08/blog-post_5285.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Το πρόβλημα αυτό είναι πολύ ενδιαφέρον και -παρά την φαινομενική απλότητά του- πολύ δύσκολο, για μένα τουλάχιστον. Παρότι η αναμενόμενη μέση τιμή ρίψεων για να έχω κεφάλι ή γράμματα είναι 1/(1/2)=2 ή 1/p γενικά (για τυχαία πιθανότητα p και 1-p για κορώνα ή γράμματα αντίστοιχα) την ζητούμενη μαθηματική ελπίδα την βρίσκω ,με διάφορες προσεγγίσεις που επιχείρησα, να είναι αποκλίνουσα! Σε όλες τις περιπτώσεις (αν το δούμε σαν ένα random walk,που έτσι είναι) που η απόλυτη τιμή της διαφοράς κεφάλι-γράμματα έχει μια συγκεκριμένη τιμή η ζητούμενη μου. ελπίδα είναι η ίδια. Επίσης, όταν η τρέχουσα διαφορά είναι δ (1 στην αρχική περίπτωση) αυτή η διαφορά μπορεί ισοπίθανα να αυξηθεί ή να μειωθεί με την επόμενη ρίψη. Έστω Ε(δ) ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων που απαιτείται για να έχουμε ισορροπία κεφάλι-γράμ-ματα όταν η διαφορά είναι δ. Ισχύει: Ε(δ)=1+0,5*Ε(δ-1)+Ε(δ+1) Eπίσης,εχουμε: E=1+E(1) και Ε(0)=0 Αρα, Ε=ν+(1/ν)*Ε(ν) Προφανώς για κάθε «ν» το Ε(ν)είναι θετικό, άρα η μαθηματική ελπίδα αποκλίνει! Το αποτέλεσμά μου μού φαίνεται. Δύο δεν μπορεί να είναι ποτέ οι ρίψεις,γιατί δεδομένης της συγκεκριμένης τιμής ("γράμματα") της 1ης θα σήμαινε πως η πιθανότητα η δεύτερη να είναι κορώνα είναι =1, δηλαδή βεβαιότητα, πράγμα που προφανώς δεν ισχύει. Ο αναμενόμενος αριθμός ρίψεων είναι επίσης προφανώς άρτιος. Το "παράδοξο" της άπειρης expectation/αρ.ρίψεων μάλλον προκύπτει από τη φύση του θέματος ως random walk. Είναι βέβαιο-από το θεώρημα κεντρικού ορίου- πως όσο ο αριθμός των ρίψεων μεγαλώνει η απόκλιση της απόλυτης τιμής της διαφοράς μεταξύ γρ. και κεφ. από το 0 μπορεί να γίνει πολύ μικρή ,αλλά κανείς δεν βεβαιώνει πως θα γίνει κάποια στιγμή =0. Είναι μεν πολύ πιθανότερο σε ας απούμε 100.000 ρίψεις να έχουμε 50.004 κεφ. και 49.996 γρ. απ’ ότι ας πούμε να έχουμε 70.000 κεφ. και 30.000 γρ.(για τίμιο νόμισμα) αλλά η μεμονωμένη πιθανότητα p(κορώνα=γράμματα) σε ακριβώς 100.000 ρίψεις είναι πολύ μικρή, όπως βεβαιώνει ο τύπος της διωνυμικής κατανομής.