Σάββατο, 14 Ιουνίου 2014

Η Μετατροπή ΙΙ

Με πόσους τρόπους μπορούμε να χαλάσουμε 100€ σε ψιλά των: 1€, 2€, 5€, 10€, 20€, και 50€; 
Λύση του Ε. Αλεξίου. H εξίσωση των διαμερίσεων του 100ευρου σε 1e, 2e, 5e, 10e,20e, 50e γράφεται: 1X1 +2*X2 +5*X3 +10*X4 +20*X5 +50*X6 =100 Σχηματίζουμε τα πολυώνυμα: P1(X) =(1+X^1+X^2+X^3+...+X^99+X^100) P2(X)=(1+X^2 +X^4+X^6+...+X^98+X^100) P3(X)=(1+X^5 +X^10 +X^15+X^20 +X^25 +X^30 +X^35 +X^40 +X^45 +X^50+X^55+X^60+X^65+X^70+X^75+X^80+X^85+X^90+X^95+X^100) P4(X)=(1+X^10 +X^20+X^30+X^40+X^50+X^60+X^70+X^80+X^90+X^100) P5(X)=(1+X^20 +X^40 +X^60 +X^80 +X^100) P6(X) =(1+ X^50 +X^100) Τα πολλαπλασιάζουμε (1+X^1+X^2+X^3+...+X^99+X^100) * (1+X^2 +X^4+X^6+...+X^98+X^100) * (1+X^5 +X^10 +X^15 +X^20 +X^25 +X^30 +X^35 +X^40 +X^45+X^50 +X^55+X^60 +X^65 +X^70 +X^75 +X^80 +X^85 +X^90 +X^95 +X^100) * (1+X^10 +X^20 +X^30+X^40 +X^50+X^60+X^70 +X^80 +X^90 +X^100) * (1+X^20 +X^40 +X^60 +X^80 +X^100) * (1+ X^50 +X^100)= =1+λ1*Χ^1 +λ2*χ^2 +λ3*Χ3+...λ100*χ^100 +λ101Χ^101+....+λ600*χ^600 Ο συντελεστής λ100 του Χ^100 είναι ο ζητούμενος αριθμός. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Πολύ προχωρημένο αριθμοθεωρητικό πρόβλημα,το πρόβλημα των διαμερίσεων και μάλιστα των "περιορισμένων"(restricted partitions), το οποίο υποθέτω πως θα λύνεται σχετικά εύκολα με ένα πρόγραμμα Η/Υ αλλά δεν τα πάω καλά μ'αυτά, οπότε εναλλακτικά βρίσκουμε το ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά στο x=0 του: 1/((1−x)(1-x^2)(1−x^5)(1−x^10)(1−x^20)(1−x^50)(1−x^100)) O Συντελεστής της δύναμης x^100 στο ανάπτυγμα 1+x+2x^2++2x^3+3x^4+...+4219x^98+ 4366x^99 + 4563x^100 +...είναι η απάντηση που ψάχνουμε. 4563 τρόποι.

4 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Πολύ προχωρημένο αριθμοθεωρητικό πρόβλημα,το πρόβλημα των διαμερίσεων και μάλιστα των "περιορισμένων"(restricted partitions), το οποίο υποθέτω πως θα λύνεται σχετικά εύκολα με ένα πρόγραμμα Η/Υ αλλά δεν τα πάω καλά μ'αυτά, οπότε εναλλακτικά βρίσκουμε το ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά στο x=0 του:
1/((1−x)(1-x^2)(1−x^5)(1−x^10)(1−x^20)(1−x^50)(1−x^100))
O Συντελεστής της δύναμης x^100 στο ανάπτυγμα 1+x+2x^2++2x^3+3x^4+...+4219x^98+
4366x^99 + 4563x^100 +...είναι η απάντηση που ψάχνουμε.
4563 τρόποι.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
Ευθύμης Αλεξίου είπε...

H εξίσωση των διαμερίσεων του 100ευρου σε 1e, 2e, 5e, 10e,20e, 50e γράφεται:

1X1 +2*X2 +5*X3 +10*X4 +20*X5 +50*X6 =100

Σχηματίζουμε τα πολυώνυμα:

P1(X) =(1+X^1+X^2+X^3+...+X^99+X^100)

P2(X)=(1+X^2 +X^4+X^6+...+X^98+X^100)

P3(X)=(1+X^5 +X^10 +X^15+X^20 +X^25 +X^30 +X^35 +X^40 +X^45 +X^50+X^55+X^60+X^65+X^70+X^75+X^80+X^85+X^90+X^95+X^100)

P4(X)=(1+X^10 +X^20+X^30+X^40+X^50+X^60+X^70+X^80+X^90+X^100)

P5(X)=(1+X^20 +X^40 +X^60 +X^80 +X^100)

P6(X) =(1+ X^50 +X^100)

Τα πολλαπλασιάζουμε

(1+X^1+X^2+X^3+...+X^99+X^100) * (1+X^2 +X^4+X^6+...+X^98+X^100) * (1+X^5 +X^10 +X^15 +X^20 +X^25 +X^30 +X^35 +X^40 +X^45+X^50 +X^55+X^60 +X^65 +X^70 +X^75 +X^80 +X^85 +X^90 +X^95 +X^100) * (1+X^10 +X^20 +X^30+X^40 +X^50+X^60+X^70 +X^80 +X^90 +X^100) * (1+X^20 +X^40 +X^60 +X^80 +X^100) * (1+ X^50 +X^100)=

=1+λ1*Χ^1 +λ2*χ^2 +λ3*Χ3+...λ100*χ^100 +λ101Χ^101+....+λ600*χ^600

Ο συντελεστής λ100 του Χ^100 είναι ο ζητούμενος αριθμός.

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια και στους δύο για τη λύση του γρίφου! Πραγματικά ήταν δύσκολο πρόβλημα.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes