Τα Σκαλιά

Ένας νεαρός κατεβαίνει μία κυλιόμενη σκάλα, ενός εμπορικού κέντρου, αφού έχει πατήσει 50 σκαλιά. Στη συνέχεια ανεβαίνει ένα ένα τα σκαλιά αλλά πιο γρήγορα και φτάνει πάνω αφού έχει πατήσει 125 σκαλιά. Αν υποθέσουμε ότι ανέβηκε 5 φορές πιο γρήγορα από ότι κατέβηκε, τότε πόσα σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει? (Κατ.34/Νο.701)

Πηγή:Martin Gardner

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_5858.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. Εκατό σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει. Eστω x το ζητούμενο (ορατά σκαλιά σε στάση) Έστω ρ ο ρυθμός (αριθμός σκαλιών ανά δευτερόλεπτο)της σκάλας όταν κινείται. Εστω t o xρόνος για να ανέβει.Ο χρόνος καθόδου του είναι διπλάσιος 2t. έχουμε: Στην κάθοδο: x-2ρt=50 (1) (Στην κάθοδο, ο αριθμός σκαλιών που κατεβαίνει ισούται με τον αριθμό των σκαλιών σταματημένου, πλην τον αριθμό σκαλιών που κινούνται σε χρόνο 2t) Στην άνοδο: x+ρt=125 (2) Στην άνοδο ο αριθμός σκαλιών που κάνει είναι τα σταματημένα σύν τα κινούμενα σε χρόνο t. Άρα έχουμε: x-2ρt=50 (1) x+ρt=125 --> 2(x+ρt)=125*2 --> 2x+2ρt =250 (3) Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (3), κι’ έχουμε: 3x=300 --> x=300/3 --> x=100 σκαλιά ορατά σε στάση. Λύση του Ε. Αλεξίου. Εκατό σκαλιά είναι ορατά όταν η σκάλα δεν βρίσκεται εν κινήσει. Αν Κ τα σκαλιά σε ηρεμία, Χ η ταχύτητα του νεαρού στην κάθοδο άρα 5Χ στην άνοδο και Υ η ταχύτητα της σκάλας, τότε 50/X =(K-50)/Y (1) 125/(5X) =(125-K)/Y (2) Από την (1) συνάγουμε ότι: (Κ-50)Χ=50Υ --> ΚΧ-50Χ=50Υ (3) Από τη (2) συνάγουμε ότι: 125/(5X) =(125-K)/Y --> 25/Χ=(125-Κ)/Υ --> (125-Κ)Χ=25Υ (4) Στην άνοδο ο αριθμός σκαλιών που κάνει είναι τα σταματημένα σύν τα κινούμενα σε χρόνο t. Άρα έχουμε: (125-Κ)Χ=25Υ --> 2*(125-Κ)Χ=2*25Υ --> (250-2Κ)Χ=50Υ --> 250Χ-2ΚΧ=50Υ (5) Αφαιρούμε κατά μέλη από τη (5) τη (3), κι’ έχουμε: (250Χ-2ΚΧ=50Υ)-(ΚΧ-50Χ=50Υ)--> 250Χ-2ΚΧ-ΚΧ+50Χ=50Υ-50Υ -->-3ΚΧ+300Χ=0 --> 3ΚΧ=300Χ --> Κ=300Χ/3Χ --> Κ=100 σκαλιά Και η ταχύτητα του νεαρού με τη ταχύτητα της σκάλας είναι ίση (Χ=Υ).