Οι Προτάσεις

Σε ένα τετράδιο είναι γραμμένες 1.000 προτάσεις.

Η πρώτη πρόταση αναφέρει ότι:

-«Υπάρχει ακριβώς μία πρόταση σε αυτό το τετράδιο, η οποία είναι ψευδής.»

Η δεύτερη πρόταση αναφέρει ότι:

-«Υπάρχουν ακριβώς δύο προτάσεις σε αυτό το τετράδιο, οι οποίες είναι ψευδείς.»

..................

..................

...................

...................

Η ν-ιοστή πρόταση αναφέρει ότι:

-«Υπάρχουν ακριβώς «ν» προτάσεις σε αυτό το τετράδιο, οι οποίες είναι ψευδείς.»

Μπορείτε να βρείτε ποιές και πόσες είναι οι αληθείς προτάσεις που είναι γραμμένες στο τετράδιο; (Κατ.28/Νο.21)

Πηγή:http://diadiktyomathphys.wordpress.com/

Λύση

Λύση του Papaveri. Αληθινή πρόταση είναι μόνο η 999η και ψευδείς οι υπόλοιπες. Η δήλωση στη 1η πρόταση είναι ψευδής διότι είναι αντίθετη στην αρχική υπόθεση. Η δήλωση στο 2η πρόταση δεν μπορεί να είναι αληθής διότι τότε θα ήταν αληθής και η δήλωση στη 3η πρόταση. Όμως αν είναι ψευδείς οι δηλώσεις στη 1η πρόταση και στη 2η πρόταση τότε σίγουρα και η δήλωση στη 3η πρόταση είναι ψευδής και από αυτό προκύπτει ότι και η δήλωση στην 998η πρόταση είναι ψευδής. Η δήλωση στην 999η πρόταση είναι αληθής και κατ΄ επέκταση η δήλωση στη 1.000η πρόταση είναι ψευδής. Άρα υπάρχει μια μόνο πρόταση αληθής, η 999η. Εάν ήταν οποιαδήποτε άλλη σωστή τότε θα είχαμε λογική αντίφαση. Λύση του Γ. Ριζόπουλου. H πρόταση 999 (ή γενικά: ν-1 πρόταση από ν συνολικά προτάσεις) είναι η μοναδική αληθής. Λύση του Ε. Αλεξίου. Παλιό και γνωστό θέμα, (τώρα μπορώ να το πω και εγώ αυτό, καθώς συμπλήρωσα 2 χρόνια ενασχόλησης με γρίφους και προβλήματα) αλλά ας δώσω την απάντηση: Οι προτάσεις 1,2,...,ν-2 (λαβαίνοντας υπόψιν και τις δύο επόμενες) αλληλοδιαψεύδονται,η ν-ιοστή αυτοδιαψεύδεται , και μόνο η ν-1 επαληθεύεται. Λύση του Ανώνυμου. 1. Δεν είναι δυνατόν να είναι ψευδείς όλες οι προτάσεις. 2. Αν κάποια από τις προτάσεις είναι αληθής, τότε όλες οι άλλες είναι ψευδείς. Επομένως θα υπάρχουν ν-1 ψευδείς προτάσεις και η αληθής πρόταση είναι η ν-1. Όπου ν=1.000.