Τετάρτη, 4 Ιουνίου 2014

Η Είσπραξη

Ένας παραγωγός καρπουζιών έστειλε τους τρεις γιους του στην αγορά να πουλήσουν καρπούζια. Στον καθ’ ένα έδωσε την εξής ποσότητα καρπουζιών:
Στο μεγαλύτερο γιο έδωσε 30 καρπούζια.
Στο μεσαίο γιο έδωσε 20 καρπούζια.
Στο μικρότερο γιο έδωσε 10 καρπούζια.
Ο πατέρας τους έδωσε την εντολή να πουλήσουν ολοι μαζί στην ίδια τιμή 
και να εισπράξουν τον ίδιο αριθμό χρημάτων. Είναι δυνατόν να 
πραγματοποιειθεί αυτή η απαίτηση; (Κατ.34/Νο.697) 
Πηγή:Εφαρμογές της Επίλυσης Προβλημάτων και της Διδασκαλίας ...

 Λύση του Γ. Ριζόπουλου.
10x=20y=30z, σχέση που ικανοποιείται για οποιαδήποτε θετικό ακέραιο κ που διατηρεί το λόγο x/y/z= 2κ/3κ/6κ. Αν οι λογοι των κιλων που σουμαρουν αντιστοιχα τα 30, 20, και 10 καρπουζια ειναι 2/3/6 γινεται. Αυτο σημαινει βεβαια πως π.χ. τα 10 πρεπει κατα μεσο ορο να ειναι τριπλασια σε βαρος απο τα 30αρια
Ή
Η εκφώνηση λέει: "Όλοι μαζί στην ίδια τιμή" .Υποθέτω-καθώς δεν βλέπω άλλη λύση/εξήγηση- πως κάθε καρπούζι λοιπόν πουλιέται σαν "μονάδα" και πως το κόλπο είναι πως δεν λέει "Όλοι μαζί στην ίδια ΣΤΑΘΕΡΗ τιμή". Δηλαδή μπορούν να πουλήσουν σε κάποια τιμή και μετά να αλλάξει αυτή η τιμή, ομοίως για όλους βέβαια, και να πουλήσουν ό,τι τους έχει μείνει στη νέα τιμή.
Ψάχνοντας λύση για 2 τιμές,ορίζω έστω Α την αρχική και Β την τελική τιμή και τις αντίστοιχες ποσότητες καρπουζιών ανα γιο xA,yA,zA και xΒ,yΒ,zΒ
A*xA + Β*xΒ = AyA + ΒyΒ = AzA + ΒzB
xA+xΒ=30
yA+yΒ=20
zA+zΒ=10
Απαλοίφωντας τα Β, έχουμε:
AxA + B(30 - xA) = AyA + B(20 - YA) = AzA + B(10 - zA) --->
(Α-Β)*xA+30B=(A-B)yA+20B=(A-B)zA+10B
Aφαιρώντας 10Β και διαιρώντας με (Α-Β), έχουμε:
xA+20B/(A-B)=yA+10B/(A-B)=zA (1)
H (1) μας δίνει τελικά μια λύση στο πρόβλημα, για τυχαία Α, Β και ακέραιο ν.
zA=ν
yA=ν+10Β/(Β-Α)
xA=ν+20Β/(Β-Α)
Προφανώς μπορούμε γιά ένα εύρος μικρών ν και κατάλληλο επιλεγμένα Α και Β να έχουμε αποδεκτές λύσεις. Θέλει διερεύνηση.
Διερεύνηση:
Για Α=1, Β=6 ας πούμε έχουμε:
xA=v+(20*6)/5=ν+24
yA=ν+12
zA=ν
Επιλέγοντας ν=3 π.χ έχουμε:
zA+zB=3*1 +7*6=3+42=45 ευρώ εισπράττει αυτός με τα 10 καρπούζια (ή κιλά)
y=15*1 +5*6=45
x=27*1+3*6=45
Θα εισπράξουν όλοι από 45 ευρώ (ή "χρηματικές μονάδες" γενικά)λοιπόν ,πουλώντας σε δύο δόσεις
1η δόση: πουλάνε 3, 15 και 27 καρπούζια στην ενιαία τιμή 1 ευρώ.
και τα υπολοιπα 7, 5,3 στην ενιαία τιμή 6 ευρώ.
Ωραίο και δύσκολο (παρά ή ίσως χάρη στην μυστήρια εκφώνηση) διοφαντικό πρόβλημα ήταν τελικά!
Θα είχε ενδιαφέρον και η προσπάθεια να το σπάσουμε σε 3 δόσεις "πώλησης",αλλά αρκεί, από μένα τουλάχιστον.
Τροποποίηση από τον Papaveri.
Ο πατέρας τους έδωσε την εντολή να πουλήσουν ολοι μαζί στην τιμή των 6€ και να εισπράξουν τον ίδιο αριθμό χρημάτων. Είναι δυνατόν να πραγματοποιειθεί αυτή η απαίτηση;

 

12 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Όπως είναιδιατυπωμένη η εκφώνηση ("όλοι μαζί στην ίδια τιμή") η απαίτηση προφανώς πραγματοποιείται μόνο αν οι γιοι χαρίσουν τα καρπούζια. Τιμή καρπουζιού=0 .Χρήματα 0.
Αν εννοεί η εκφώνηση πως ο καθένας πουλάει σε μια σταθερή τιμή,ισχύει
10x=20y=30z, σχέση που ικανοποιείται για οποιαδήποτε θετικό ακέραιο κ που διατηρεί το λόγο x/y/z= 2κ/3κ/6κ

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Γιώργο, εάν τα χάριζαν τα καρπούζια, πως θα εισέπραταν χρήματα τα οποία ζητούσε ο πατέρας τους;
Από την εκφώνηση βγαίνει το συμπέρασμα ότι για να εισπάξουν όλοι μαζί το ίδιο ποσό χρημάτων, π.χ. 10€,πρέπει να πουλήσουν την ίδια τιμή το κιλό. Αυτό ζητάει ο πατέρας τους.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Ε,αυτο απαντησα κι εγω. Αν οι λογοι των κιλων που σουμαρουν αντιστοιχα τα 30, 20, και 10 καρπουζια ειναι 2/3/6 γινεται. Αυτο σημαινει βεβαια πως π.χ τα 10 πρεπει κατα μεσο ορο να ειναι τριπλασια σε βαρος απο τα 30αρια.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Υπάρχει και άλλος τρόπος για να εισπράξουν ολοι το ίδιο ποσό χρημάτων μετά την πώληση των καρπουζιών. Μπορείς να τη βρεις;

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Η εκφώνηση λέει:
"Όλοι μαζί στην ίδια τιμή" .Υποθέτω-καθώς δεν βλέπω άλλη λύση/εξήγηση- πως κάθε καρπούζι λοιπόν πουλιέται σαν "μονάδα" και πως το κόλπο είναι πως δεν λέει "Όλοι μαζί στην ίδια ΣΤΑΘΕΡΗ τιμή". Δηλαδή μπορούν να πουλήσουν σε κάποια τιμή και μετά να αλλάξει αυτή η τιμή, ομοίως για όλους βέβαια, και να πουλήσουν ό,τι τους έχει μείνει στη νέα τιμή.
Ψάχνοντας λύση για 2 τιμές,ορίζω έστω Α την αρχική και Βτην τελικ)τιμή και τις αντίστοιχες ποσότητες καρπουζιών ανα γιο xA,yA,zA και xΒ,yΒ,zΒ
A*xA + Β*xΒ = AyA + ΒyΒ = AzA + ΒzB
xA+xΒ=30
yA+yΒ=20
zA+zΒ=10

Απαλοίφωντας τα Β, έχουμε:
AxA + B(30 - xA) = AyA + B(20 - YA) = AzA + B(10 - zA)
--->
(Α-Β)*xA+30B=(A-B)yA+20B=
=(A-B)zA+10B
Aφαιρώντας 10Β και διαιρώντας με (Α-Β), έχουμε:
xA+20B/(A-B)=yA+10B/(A-B)=zA (1)
H (1) μας δίνει τελικά μια λύση στο πρόβλημα, για τυχαία Α, Β και ακέραιο ν.
zA=ν
yA=ν+10Β/(Β-Α)
xA=ν+20Β/(Β-Α)
Προφανώς μπορούμε για΄ένα ε΄υρος μικρών ν και κατάλληλο επιλεγμένα Α και Β να έχουμε αποδεκτές λύσεις. Θέλει διερεύνηση.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Για Α=1, Β=6 ας πούμε έχουμε:
xA=v+(20*6)/5=ν+24
yA=ν+12
zA=ν
Επιλέγοντας ν=3 π.χ έχουμε:
zA+zB=3*1 +7*6=3+42=45 ευρώ εισπράττει αυτός με τα 10 καρπούζια (ή κιλά)
y=15*1 +5*6=45
x=27*1+3*6=45
Θα εισπράξουν όλοι από 45 ευρώ (ή "χρηματικές μονάδες" γενικά)λοιπόν ,πουλώντας σε δύο δόσεις
1η δόση: πουλάνε 3, 15 και 27 καρπούζια στην ενιαία τιμή 1 ευρώ.
και τα υπολοιπα 7, 5,3 στην ενιαία τιμή 6 ευρώ.
Ωραίο και δύσκολο (παρά ή ίσως χάρη στην μυστήρια εκφώνηση) διοφαντικό πρόβλημα ήταν τελικά!
Θα είχε ενδιαφέρον και η προσπάθεια να το σπάσουμε σε 3 δόσεις "πώλησης",αλλά αρκεί, από μένα τουλάχιστον.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Αυτό ακριβως ήταν το σκεπτικό των τριών αδελφών. Το πρωϊ να πουλήσουν με ΣΤΑΘΕΡΗ "ψ" τιμή και το μεσημέρι τα μεμονωμένα με ΣΤΑΘΕΡΗ "ω" τιμή.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Το πρόβλημα κανονικά έπρεπε να λύνεται με το σκεπτικό "...το πρωϊ να πουλάνε την επτάδα με "ψ" τιμή και το μεσημέρι τα μεμονωμένα με τιμή "ω", αλλά δεν λύνεται. Με μια τροποποίηση που έκανα στις ποσότητες των καρπουζιών (30, 24, 12) και με δηλωμένη τη τιμή των 6€
από τον πατέρα το πρόβλημα λύνεται με είσπραξη 6€ από το καθ' ένα γιο.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Τι εννοείς ακριβώς "την επτάδα";
Γιατί επτάδα ειδικά;
Βεβαίως και υπάρχει λύση για τις ποσότητες που δίνει το πρόβλημα (10,20,30) .Kαι πολλές διαφορετικές (η είσπραξη 45 ευρώ, για Α=1ευ.Β=6ευρώ και v=3 που ανέφερα είναι μία απ'αυτές) μάλιστα.
Αν εννοείς πως δεν υπάρχει λύση για ίσες ποσότητες ανά σπάσιμο, αυτό είναι προφανές ότι ισχύει από την επιμεριστική ιδιότητα του πολ/σμού.

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Αυτό που έγραψες στο τέλος στο τελευταίο σχόλιο σου, εννοώ.
Δες τη λύση στην ανάρτηση στην τροποιήση που έκανα.

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Δεν καταλαβαίνω τι νόημα έχει η "Τροποποίηση" του προβλήματος, καθώς είναι διαφορετικό πρόβλημα αυτό που προτείνεις και λύνεις, και θα μπορούσε κάποιος να σκεφτεί κι άλλες παραλλαγές ,οι οποίες μάλιστα θα ήταν συμβατές με τα αρχικά αριθμητικά δεδομένα (10,20,30).
Τέλος πάντων...

Ευθύμης Αλεξίου είπε...

Πράγματι υπάρχουν λύσεις με τα αριθμητικά δεδομένα {30,20,10)
Συμφωνούν να πουλήσουν αρχικά σε εξάδες με την ίδια τιμή Χ (5 εξάδες=30, 3*6+2μονά=20, 1*6+4μονά=10), μετά ο μεσαίος και ο μικρός την 2άδα σε τιμή Υ (1 δυάδα +0 μονά ο μεσαίος,1 δυάδα +2 μονά ο μικρός) και τα 2 μονά ο μικρός σε τιμή Ζ,έτσι ώστε 5Χ=3Χ+Υ=Χ+Υ+2Ζ=Α που δίνει την λύση: A=5k, X=k, Y=2k, Z=k, k=1,2,...n

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes