Η Είσπραξη

Ένας παραγωγός καρπουζιών έστειλε τους τρεις γιους του στην αγορά να πουλήσουν καρπούζια. Στον καθ’ ένα έδωσε την εξής ποσότητα καρπουζιών:

Στο μεγαλύτερο γιο έδωσε 30 καρπούζια.

Στο μεσαίο γιο έδωσε 20 καρπούζια.

Στο μικρότερο γιο έδωσε 10 καρπούζια.

Ο πατέρας τους έδωσε την εντολή να πουλήσουν ολοι μαζί στην ίδια τιμή 
και να εισπράξουν τον ίδιο αριθμό χρημάτων. Είναι δυνατόν να 
πραγματοποιειθεί αυτή η απαίτηση; (Κατ.34/Νο.697) 

Πηγή:Εφαρμογές της Επίλυσης Προβλημάτων και της Διδασκαλίας ...

 Λύση του Γ. Ριζόπουλου.

10x=20y=30z, σχέση που ικανοποιείται για οποιαδήποτε θετικό ακέραιο κ που διατηρεί το λόγο x/y/z= 2κ/3κ/6κ. Αν οι λογοι των κιλων που σουμαρουν αντιστοιχα τα 30, 20, και 10 καρπουζια ειναι 2/3/6 γινεται. Αυτο σημαινει βεβαια πως π.χ. τα 10 πρεπει κατα μεσο ορο να ειναι τριπλασια σε βαρος απο τα 30αρια

Ή

Η εκφώνηση λέει: "Όλοι μαζί στην ίδια τιμή" .Υποθέτω-καθώς δεν βλέπω άλλη λύση/εξήγηση- πως κάθε καρπούζι λοιπόν πουλιέται σαν "μονάδα" και πως το κόλπο είναι πως δεν λέει "Όλοι μαζί στην ίδια ΣΤΑΘΕΡΗ τιμή". Δηλαδή μπορούν να πουλήσουν σε κάποια τιμή και μετά να αλλάξει αυτή η τιμή, ομοίως για όλους βέβαια, και να πουλήσουν ό,τι τους έχει μείνει στη νέα τιμή.
Ψάχνοντας λύση για 2 τιμές,ορίζω έστω Α την αρχική και Β την τελική τιμή και τις αντίστοιχες ποσότητες καρπουζιών ανα γιο xA,yA,zA και xΒ,yΒ,zΒ
A*xA + Β*xΒ = AyA + ΒyΒ = AzA + ΒzB
xA+xΒ=30
yA+yΒ=20
zA+zΒ=10
Απαλοίφωντας τα Β, έχουμε:
AxA + B(30 - xA) = AyA + B(20 - YA) = AzA + B(10 - zA) --->
(Α-Β)*xA+30B=(A-B)yA+20B=(A-B)zA+10B
Aφαιρώντας 10Β και διαιρώντας με (Α-Β), έχουμε:
xA+20B/(A-B)=yA+10B/(A-B)=zA (1)
H (1) μας δίνει τελικά μια λύση στο πρόβλημα, για τυχαία Α, Β και ακέραιο ν.
zA=ν
yA=ν+10Β/(Β-Α)
xA=ν+20Β/(Β-Α)
Προφανώς μπορούμε γιά ένα εύρος μικρών ν και κατάλληλο επιλεγμένα Α και Β να έχουμε αποδεκτές λύσεις. Θέλει διερεύνηση.

Διερεύνηση:

Για Α=1, Β=6 ας πούμε έχουμε:
xA=v+(20*6)/5=ν+24
yA=ν+12
zA=ν
Επιλέγοντας ν=3 π.χ έχουμε:
zA+zB=3*1 +7*6=3+42=45 ευρώ εισπράττει αυτός με τα 10 καρπούζια (ή κιλά)
y=15*1 +5*6=45
x=27*1+3*6=45
Θα εισπράξουν όλοι από 45 ευρώ (ή "χρηματικές μονάδες" γενικά)λοιπόν ,πουλώντας σε δύο δόσεις
1η δόση: πουλάνε 3, 15 και 27 καρπούζια στην ενιαία τιμή 1 ευρώ.
και τα υπολοιπα 7, 5,3 στην ενιαία τιμή 6 ευρώ.
Ωραίο και δύσκολο (παρά ή ίσως χάρη στην μυστήρια εκφώνηση) διοφαντικό πρόβλημα ήταν τελικά!
Θα είχε ενδιαφέρον και η προσπάθεια να το σπάσουμε σε 3 δόσεις "πώλησης",αλλά αρκεί, από μένα τουλάχιστον.

Τροποποίηση από τον Papaveri.

Ο πατέρας τους έδωσε την εντολή να πουλήσουν ολοι μαζί στην τιμή των 6€ και να εισπράξουν τον ίδιο αριθμό χρημάτων. Είναι δυνατόν να πραγματοποιειθεί αυτή η απαίτηση;