Οι Κορώνες

Ο Μάρκος και η Αγγελική έχουν ο καθένας από μία χούφτα κέρματα. Η Αγγελική έχει ένα κέρμα περισσότερο από τον Μάρκο. Ρίχνουν και οι δύο τα κέρματα τους σε ένα τραπέζι. Ποια είναι η πιθανότητα η Αγγελική να φέρει περισσότερες "κορώνες" από τον Μάρκο; (Κατ.33/Νο.32)

Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/07/blog-post_8976.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. H πιθανότητα είναι 1/2. Tα δύο γεγονότα (ο ένας να φέρει είτε περισ. κ ή περισοτ. γ) είναι συμπληρωματικά.Aναλογία με 1 και 2 νομίσματα.Εκεί είναι φανερό πως από τα 8 ενδεχόμενα των τριών ρίψεων, ο παίκτης με τα 2 νομίσματα φέρνει περισσοτ. κορώνες σε 4 περιπτώσεις, ενώ στις 3 από τις 4 που φέρνει περισσότ. γράμματα , και οι δύο έχουν τις ίδιες κορώνες. Αν ο τυχαίος παίκτης i στρίψει νi νομίσματα και φέρει Κi κεφάλια, τότε το (Κ1-Κ2+ν2) ακολουθεί μια διωνυμική κατανομή με παραμέτρους: Δοκιμές=ν1+ν2 ,και p=1/2 H πιθανότητα, ο παίκτης 1 να φέρει κ περισσότερες κορώνες από τον 2, είναι: P(K1-K2=κ)=(1/2^(ν1+ν2))*C{(ν1+ν2),(κ+ν2)) (τον διωνυμ.συντελεστή ν1+ν2 "πάνω στο" κ+ν2 ) ,με ν2<ίσον κ <ίσον1 Η κατανομή λοιπόν του Κ1-Κ2 +(ν1+ν2)/2 είναι συμμετρική ως προς το 0. Έτσι,στο πρόβλημά μας έχουμε: ν1=μ+1, ν2=μ και P(Κ1 – Κ2 ≥ 1) = P(Κ1 – Κ2 ≤ 0)=1/2. Προς αποσαφήνιση και για να μην μένουν λαναθασμένες εντυπώσεις, έγραψα πως τα δύο γεγονότα ,δηλαδή αυτός που στρίβει το επιπλέον νόμισμα να φέρει περισσότερα κεφάλια ή περισσότερα γράμματα είναι συμπληρωματικά, και δεν υπάρχει καμία αμφιβολία γι'αυτό. Εφόσον η Αγγελική έχει ένα κέρμα περισσότερο θα καταλήξει με περισσότερα κεφάλια Ή περισσότερα γράμματα, ΟΧΙ όμως και με τα δύο ενδεχόμενα,αφού έχει 1 μόνο επιλέον νόμισμα. Έπεται πως η Αγγελική θα φέρει περισσότερα κεφάλια ή περισσότερα γράμματα (ΕΔΩ έγκειται η "συμπληρωματικότητα") Τα δύο ενδεχόμενα είναι το ίδιο πιθανά, άρα p=1/2 Λύση του Ε. Αλεξίου. Και αυτό είναι γνωστό θέμα, που η απάντηση που δίνεται είναι είναι ότι “η πιθανότητα η Αγγελική να φέρει περισσότερες "κορώνες" από τον Μάρκο” είναι 50%. Προσωπικά, διαισθητικά προς το παρόν τουλάχιστον, θεωρώ ότι η Αγγελική έχει πιθανότητα πάνω από 50% να φέρει περισσότερες κορώνες από το Μάρκο και μάλιστα τόσο μεγαλύτερη όσο λιγότερα είναι τα νομίσματα Πιθανόν το αρχικό ερώτημα να ήταν “ποια η πιθανότητα να φέρει η Αγγελική περισσότερες κορώνες από γράμματα σε σχέση με το Μάρκο! Σε αυτήν την περίπτωση και για την Αγγελική περισσότερες κορώνες παρά γράμματα οι πιθανότητες είναι 50%-50% και για τα νομίσματα του Μάρκου 50%1-50% Πιθανόν το αρχικό νόημα να “χάθηκε στην μετάφραση” και να έγινε περισσότερες κορώνες από τα νομίσματα του ενός σε σχέση με τις κορώνες που μπορεί να φέρουν τα νομίσματα του άλλου. Καμία σχέση κατά την άποψή μου το ένα ερώτημα με το άλλο! Εν κατακλείδι το σωστό ερώτημα, γλωσσικά και νοηματικά σωστό και λογικό και για να μην χαθεί η γοητεία του αρχικού γρίφου όπως τον υποθέτω, είναι “ποια η πιθανότητα να φέρει η Αγγελική περισσότερες κορώνες παρά γράμματα σε σχέση με τον Μάρκο?” και βέβαια σε αυτή την περίπτωση η απάντηση είναι 50%, όσα και να είναι τα νομίσματα. Και μία προσέγγιση ανάλυσης για το “περισσότερες κορώνες η Αγγελική από το Μάρκο” Έστω ότι η Αγγελική έχει 2 νομίσματα και ο Μάρκος 1. ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ ΜΑΡΚΟΣ Κ, Γ, Σύνολο δυνατών περιπτώσεων 4*2=8 Α νικά σε 2(ΚΚ-Κ, ΚΚ-Γ)+2(ΚΓ-Γ, ΓΚ-Γ)=4 περιπτώσεις Μ νικά σε μια περίπτωση (Κ-ΓΓ) Έστω ότι η Αγγελική έχει 3 νομίσματα και ο Μάρκος 2. ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ, ΓΓΚ, ΓΚΓ, ΚΓΓ, ΓΓΓ ΜΑΡΚΟΣ ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ Συνολο δυνατών περιπτώσεων 4*8=32 A νικά σε 4+3*3 +3=16 περιπτώσεις M νικά 4+2*1=5 περιπτώσεις ΥΓ.: Μετά την αρχική διαισθητική τρόπον τινά προσέγγιση έκανα και ένα πείραμα, έπαιξα ένα παιχνίδι δύο παιχτών, ο ένας (Α) με 1 νόμισμα και ο άλλος (Β) με 2 νομίσματα και τα ρίχνουν εναλλάξ και διαδοχικά και όποιος φέρει περισσότερες κορώνες σε στην κάθε ρίψη του καθενός κερδίζει, αποτέλεσμα του πειράματος μετά από αρκετές παρτίδες ο Α κέρδισε σε 12 παρτίδες και ο Β σε 38! Λύση του Ανώνυμου. Η πιθανότητα η Αγγελική να φέρει (με τα κέρματά της) περισσότερες κορώνες από ότι θα φέρει ο Μάρκος (με τα κέρματά του) είναι 50%. Η πιθανότητα να φέρει (με τα κέρματά του) ο Μάρκος περισσότερες κορώνες από την Αγγελική δεν είναι 50%, αλλά καθώς τα δύο ενδεχόμενα δεν είναι συμπληρωματικά, αυτό δε σημαίνει ότι η πιθανότητα να φέρει η Αγγελική περισσότερες κορώνες δεν είναι 50% (στο υπόλοιπο 50% βρίσκεται και η πιθανότητα να φέρουν τις ίδιες κορώνες και επί της ουσίας το υπόλοιπο αυτό ποσοστό είναι η πιθανότητα να φέρει η Αγγελική περισσότερα γράμματα). Εναλλακτικά, μπορούμε απλά να σκεφτούμε ότι η Αγγελική έχει μόνο ένα κέρμα και ο Μάρκος κανένα. Τα υπόλοιπα, αφού είναι ίσα έχουν την ίδια πιθανότητα να φέρουν αντίστοιχα αποτελέσματα και μπορούμε να τα αγνοήσουμε.