Ο Αριθμός

Παίρνουμε έναν οποιοδήποτε διψήφιο αριθμό «αβ» και δημιουργούμε έναν πενταψήφιο, χρησιμοποιώντας το διψήφιο δυο φορές και παρεμβάλλοντας το μηδέν «αβ0αβ». Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε το διψήφιο αριθμό για να βρούμε τον πενταψήφιο αριθμό; (Κατ.34/Νο.699)
Πηγή: IΔ΄ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013

Λύση

Με τον αριθμό 1.001. Έστω «ω» ο ζητούμενος αριθμός και ο πενταψήφιος αριθμός είναι της μορφής (10.000α+1.000β+0*100+10α+β).Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε: αβ0αβ =ω*αβ --> 10.000α+1.000β+0*100+10α+β =ω*(10α+β) --> 10.010α+1.001β= ω*(10α+β) --> 1.001*(10α+β)=ω*(10α+β) --> ω=(1.001*(10α+β)/(10α+β) --> ω=1001 (1) Επαλήθευση: Έστω «α=2» και «β=5» αβ0αβ =ω*αβ --> 25025=1.001*25 Παρατηρούμε ότι ο πενταψήφιος αριθμός είναι μια χιλιάδα διψήφιου αθροιζόμενη με τον ίδιο, δηλαδή 1001. Αναλύοντας σε παράγοντες το 1001 έχουμε 7, 11, και 13. Άρα ο αρχικός διψήφιος αριθμός εμφανίζεται εκ νέου αφού πολλαπλασιάστηκε και διαιρέθηκε με τον ίδιο αριθμό, το 1001. 25025:7=3.575:11=325:13=25 Βλέπουμε ότι το αποτέλεσμα της τελευταίας διαίρεσης είναι ο αριθμός που ορίσαμε στο παράδειγμα (25), ο οποίος καλείται εκλεκτός αριθμός.