Οι Πόντοι

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους είναι δυνατόν να σκοράρει ένας παίκτης 15 πόντους στο μπάσκετ; 
Διευκρίνιση: 
Θυμηθείτε, στο μπάσκετ, μπορούμε να σκοράρουμε 1 πόντο (με φάουλ), 2 
πόντους (με δίποντο καλάθι), ή 3 πόντους (με τρίποντο καλάθι). (Κατ.5/Νο.91) 
Πηγή:http://eisatopon.blogspot.gr/2012/12/15.html

Λύση

Λύση του Γ. Ριζόπουλου. To ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά Τέηλορ του: 1/((1−x)(1-x^2)(1−x^3)(1−x^15)) δείχνει πως έχουμε 27 διαφορετικές περιπτώσεις /διαμερίσεις. Αν x τα μονόποντα, y τα δίποντα και z τα τρίποντα και λύνοντας τη διοφαντική εξίσωση: x+2y+3z=15 με τους περιορισμούς: 0 μικρότερο ή ίσο x μικρότερο ή ίσο 15, 0 μικρότερο ή ίσο y μικρότερο ή ίσο 7, 0 μικρότερο ή ίσο z μικρότερο ή ίσο 5, βρίσκουμε τις 27 λύσεις: Mετράει όμως η διάταξη ανά περίπτωση/λύση, δηλαδή η σειρά με την οποία πετυχαίνει κάποιος τα διαφορετικής αξίας καλάθια. Έχουμε ανα τριάδα x,y,z: 1) 0,0,5= 1 τρόπος 2) 0,3,3 = 6!/(3!*3!)=20 τρόποι 3) 0,6,1=7!/(6!*1!)=7 τρόποι 4) 1,1,4= 6!/4!=30 τρόποι 5) 1,4,2=7!/(4!*2!)=105 τρόποι 6) 1,7,0=8!/7!=8 τρόποι 7) 2,2,3=7!/(3!2!2!)=210 τρόποι 8) 2,5,1=8!/(2!5!)=168 τρόποι 9) 3,0,4=7!/(3!4!)=35 τρόποι 10) 3,3,2=8!/(3!3!2!)=560 τρόποι 11) 3,6,0=9!/(3!6!)=84 τρόποι 12) 4,1,3=8!/(4!3!)=280 τρόποι 13) 4,4,1=9!/(4!4!)=630 τρόποι 14) 5,2,2=9!/(5!2!2!)=756 τρόποι 15) 5,5,0=10!/(5!5!)=252 τρόποι 16) 6,0,3=9!/(6!3!)=84 τρόποι 17) 6,3,1=10!/(6!3!)=840 τρόποι 18) 7,1,2=10!/(7!2!)=360 τρόποι 19) 7,4,0=11!/(7!4!)=330 τρόποι 20) 8,2,1=11!/(8!2!)=495 τρόποι 21) 9,0,2=11!/(9!2!)=55 τρόποι 22) 9,3,0=12!/(9!3!)=220 τρόποι 23) 10,1,1=12!/10!=132 τρόποι 24) 11,2,0=13!/(11!2!)=78 τρόποι 25) 12,0,1=13!/12!=13 τρόποι 26) 13,1,0=14!/13!=14 τρόποι 27) 15,0,0=1 τρόπος τρόποι Λύση του Ε. Αλεξίου. 5*3+0*2+0*1 4*3+1*2+1*1 4*3+0*2+3*1 3*3+3*2+0*1 3*3+2*2+2*1 3*3+1*2+4*1 3*3+0*2+6*1 2*3+4*2+1*1 2*3+3*2+3*1 2*3+2*2+5*1 2*3+1*2+7*1 2*3+0*2+9*1 1*3+6*2+0*1 1*3+5*2+2*1 1*3+4*2+4*1 1*3+3*2+6*1 1*3+2*2+8*1 1*3+1*2+10*1 1*3+0*2+12*1 0*3+7*2+1*1 0*3+6*2+3*1 0*3+5*2+5*1 0*3+4*2+7*1 0*3+3*2+9*1 0*3+2*2+11*1 0*3+1*2+13*1 0*3+0*2+15*1. Σύνολο 27 διαφορετικοί τρόποι.