Η Σχολή του Πυθαγόρα

 Η χρονιά ίδρυσης της Πυθαγόρειας Σχολής αποτελείται από έναν τριψήφιο αριθμό, του οποίου το άθροισμα των ψηφίων του ισούται με 10. Το πρώτο ψηφίο είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο ψηφίων. Διαιρώντας δε τη χρονολογία με τον αριθμό 19, προκύπτει ένας ακέραιος αριθμός, ίσος με τις ημέρες κάποιου μήνα. Πότε ιδρύθηκε η σχολή;  

(Κατ.26/Πρβλ. Νο.7)

Λύση

Η σχολή του Πυθαγόρα ιδρύθηκε το 532π.Χ. Έστω «αβγ» ο τριψήφιος
αριθμός. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ=10 (1)
α = β+γ (2)
Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=10 --> α+α=10 --> 2α=10 --> α=10/2 --> α=5
Διερεύνηση:
Ο αριθμός 5 σχηματίζεται από τους αριθμούς(1+4), (2+3), (3+2) και
(4+1), οι οποίοι σχηματίζουν τις χρονολογίες 514, 523, 532 και
541 π.Χ. Η εκφώνηση του προβλήματος λέει ότι το έτος ιδρύσεως της
σχολής διαιρούμενο με το 19 μας δίδει ως πηλίκο τις ημέρες
κάποιου μήνα.
Εάν διαιρέσουμε το 514 με το 19 αφήνει υπόλοιπο 1.
Εάν διαιρέσουμε το 523 με το 19 αφήνει υπόλοιπο 10.
Εάν διαιρέσουμε το 541 με το 19 αφήνει υπόλοιπο 9.
οι οποίες δεν ικανοποιούν τη συνθήκη του προβλήματος. Άρα η μόνη
αποδεκτή λύση είναι η χρονολογία 532 π.Χ., η οποία διαιρούμενη με
το 19 μας δίνει πηλίκο 28, δηλαδή, τις ημέρες του μηνός Φεβρουαρίου,
όταν το έτος είναι κανονικό.
Άρα η ζητούμενη χρονολογία ιδρύσεως της σχολής είναι το 532 π.Χ..
Επαλήθευση:
α+β+γ=10 --> 5+3+2=10
(100α+10β+γ)/19 --> (100*5+10*3+2)/19 --> (500+30+2)/19 -->
532/19=28 ο.ε.δ.
Λύση του batman1986
Έστω πως ο αριθμός είναι ΑΒΓ
Σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε:
Α+Β+Γ=10
Α=Β+Γ
Και (Α*100+Β*10+Γ)=19ν(ν ακέραιος)
Από τους 2 πρώτους τύπους προκύπτει
2*Α=10 --> Α=5
Επίσης Γ=5-Β
Άρα η 3η μετατρέπεται
(500+9*Β+5)=19ν
Β=(19ν-505)/9(το Β είναι μονοψήφιος ακέραιος)
Δοκιμάζουμε με 30,31 και 28
και μόνο για 28 έχουμε ακέραιο και συγκεκριμένα
Β=3
Άρα Γ=5-3=2
Άρα ο αριθμός ΑΒΓ=532
Υ.Γ. Το έγραψα αναλυτικά αλλά προκύπτει πολύ πιο απλά από την
πληροφόρια ακέραιου αριθμού ίσου με τις μέρες ενός μήνα
δοκιμάζουμε τις 3 δυνατές περιπτώσεις
30*19=570
31*19=589
28*19=532
Από τι βλέπουμε μόνο η 3η περίπτωση ικανοποιεί τις πρώτες
προυποθέσεις.