Τρίτη, 28 Φεβρουαρίου 2012

Οι Διψήφιοι Αριθμοί

Εάν αθροίσουμε δύο διψήφιους αριθμούς το άθροισμά τους ισούται με 99. Ενώ εάν τους πολλαπλασιάσουμε το γινόμενό τους ισούται με 1.944. Τα ψηφία που απαρτίζουν τους δύο διψήφιους αριθμούς είναι τα ίδια, αλλά αντεστραμμένα. Μπορείτε να βρείτε για ποιους διψήφιους αριθμούς πρόκειται; (Κατ.26/Πρβλ. Νο.6)

Λύση

Λύση του N.Lntzs.
Έστω x και y οι ζητούμενοι αριθμοί,
S το άθροισμά τους
και Ρ το γινόμενό τους.
Δηλαδή:
x+y=S=99
x*y=P=1944
Αυτοί είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: ω^2 - S*ω + Ρ = 0
ή ω^2 - 99*ω + 1944 = 0.
Αυτή έχει ρίζες τους αριθμούς 27 και 72, που είναι και οι ζητούμενοι
αριθμοί.Πράγματι 27+72=99 και 27*72=1944.
Οι υπόλοιπες πληροφορίες, δεν είναι απαραίτητες, εκτός αν δεν γνωρίζει
κάποιος την λύση δευτεροβάθμιας και ψάχνει στους 24 ακέραιους
διαιρέτες του 1944 (που είναι οι: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27,
36, 54, 72,81, 108, 162, 216, 243, 324, 486, 648, 972
και 1944),απομονώσει τους διψήφιους (12, 18, 24, 27, 36, 54, 72,
81)και από αυτούς να επιλέξει δύο που ο ένας να είναι ο "αντίστροφος"
του άλλου και αυτοί είναι οι 27 και 72. Μια επαλήθευση στην συνέχεια
για επιβεβαίωση.
Λύση Papaveri
Έστω "αβ" και "βα" οι ζητούμενο διψήφιοι αριθμοί, οι οποίοι παριστάνονται
(10α+β)και(10β+α). Βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
(10α+β)+(10β+α)=99 (1)
(10α+β)*(10β+α)=1.944 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
(10α+β)+(10β+α)=99 --> 10α+β+10β+α=99 --> 11α+11β=99 --> 
11(α+β)=99 -->  α+β=99/11 --> α+β=9 --> α = 9 – β (3)
Διερεύνηση:
Δίνοντας στο "β" τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι οι μοναδικές
τιμές που δίνουν τη λύση είναι οι αριθμοί 2 και 7. Αντικαθιστούμε τη
τιμή του "β"στη (3) κι’ έχουμε:
α = 9 – β --> α = 9-2 --> α = 7
α = 9 – β --> α = 9-7 --> α = 2
Άρα οι διψήφιοι αριθμοί είναι οι 27 και 72.
Επαλήθευση:
(10α+β)+(10β+α)=99 --> [(10*2)+7]+[(10*7)+2]=99 --> 
(20+7)+(70+2)=99 --> 27+72=99
(10α+β)*(10β+α)=1.944 --> [(10*2)+7]*[(10*7)+2]=1.944 -->
(20+7)*(70+2)=1.944 --> 27*72=1.944 ο.ε.δ.

4 σχόλια:

RIZOPOULOS GEORGIOS είπε...

Οι αριθμοί είναι 18 και 81.

Ανώνυμος είπε...

Έστω x και y οι ζητούμενοι αριθμοί,
S το άθροισμά τους
και Ρ το γινόμενό τους.
Δηλαδή:
x+y=S=99
x*y=P=1944
Αυτοί είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: ω^2 - S*ω + Ρ = 0
ή ω^2 - 99*ω + 1944 = 0.
Αυτή έχει ρίζες τους αριθμούς 27 και 72, που είναι και οι ζητούμενοι αριθμοί.
Πράγματι 27+72=99
και 27*72=1944.

Οι υπόλοιπες πληροφορίες, δεν είναι απαραίτητες, εκτός αν δεν γνωρίζει κάποιος την λύση δευτεροβάθμιας και ψάχνει στους 24 ακέραιους διαιρέτες του 1944 (που είναι οι: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 81, 108, 162, 216, 243, 324, 486, 648, 972 και 1944),απομονώσει τους διψήφιους (12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 81)και από αυτούς να επιλέξει δύο που ο ένας να είναι ο "αντίστροφος" του άλλου και αυτοί είναι οι 27 και 72. Μια επαλήθευση στην συνέχεια για επιβεβαίωση.

N.Lntzs

Papaveri είπε...

@RIZOPOULOS GEORGIOS
Οι δύο διαιρέτες του αριθμού 1,944 που βρήκατε συμφωνούν μόνο ως προς το άθροισμα,99, ενώ ως προς το γινόμενο όχι.

Papaveri είπε...

@N.Lntzs
Πολύ ωραία ανάλυση.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes