Τρίτη, 10 Αυγούστου 2010

Η Γάτα και το Τούνελ


 
Στο εσωτερικό ενός τούνελ με άκρα Α και Β και σε απόσταση ίση με τα 3α/8
του μήκους του τούνελ από την είσοδο Α, βρίσκεται μια γάτα όπου ακούει 
το σφύριγμα ενός τρένου που πλησιάζει προς την είσοδο "Α". Αν η γάτα 
τρέξει προς την είσοδο θα συναντηθεί με το τρένο ακριβώς στην είσοδο 
«Α» του τούνελ.  Αν η γάτα τρέξει προς την έξοδο θα συναντηθεί με το 
τρένο ακριβώς στην έξοδο «Β» του τούνελ. Να βρεθεί πόσες φορές 
μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του τρένου από την ταχύτητα της γάτας.
(Κατ.34/Πρβ. Νο.415)

Πηγή: Asxetos.gr

8 σχόλια:

pantsik είπε...

Ωραίο πρόβλημα που συνδυάζει στοιχειώδη φυσική και μαθηματικά.

Έστω τ και γ οι ταχύτητες του τρένου και της γάτας αντίστοιχα. Έστω t1 και t2 οι χρόνοι που χρειάζονται τρένο και γάτα για να συναντηθούν στην έξοδο Α και Β αντίστοιχα.
Για τη συνάντηση στην έξοδο Α ισχύουν οι εξισώσεις: τ=ω/t1 και γ=(3α/8)/t1. Για τη συνάντηση στην έξοδο Β ισχύουν οι εξισώσεις: τ=(ω+α)/t2 και γ=(5α/8)/t2. Αυτή είναι όλη η φυσική του προβλήματος. Για να εξαχθεί το ζητούμενο απαιτούνται λίγοι απλοί μαθηματικοί χειρισμοί:
Από τις δύο πρώτες εξισώσεις προκύπτει: τ/γ=8ω/3α. Από τις δύο δεύτερες προκύπτει: τ/γ=8(ω+α)/5α. Τα πρώτα μέλη ίσα άρα και τα δεύτερα, δηλαδή: 8ω/3α=8(ω+α)/5α. Λύνουμε ως προς ω και βγαίνει: ω=3α/2.
Αντικαθιστούμε το ω στη σχέση τ/γ=8ω/3α και προκύπτει: τ/γ=4, δηλαδή το τρένο είναι 4 φορές πιο γρήγορο από τη γάτα.

Papaveri είπε...

Συγχαρητήρια!! Η απάντησή σας πολύ σωστή και τεκμηριωμένη.
Πότε θ' αναρτήσετε τις λύσεις στο δικό σας ιστολόγιο;

pantsik είπε...

Θα αργήσω. Αν θέλετε κάποια συγκεκριμένη απάντηση γράψτε μου να σας τη στείλω με email.

ΧΑΡΗΣ είπε...

Ωραία η άλγεβρα και η φυσική, όμως τίποτα καλύτερο από την πρακτική αριθμητική, εκεί όπου αυτή χωρεί.

Λοιπόν, στην περίπτωση που η γάτα τρέχει προς την έξοδο Β, την ώρα που το τρένο φτάνει στην Α, η γάτα θα έχει διανύσει τα 3/8 του μήκους του τούνελ, δηλαδή θα απέχει 5α/8 - 3α/8 = 2α/8 = α/4 από την έξοδο Β.

Στη συνέχεια, το τρένο θα διανύσει το τούνελ (μήκος α) και η γάτα το υπόλοιπο 1/4 αυτού (δηλαδή α/4) στον ίδιο χρόνο, αφού η εκφώνηση αναφέρει ότι συναντιούνται στην έξοδο Β. Οπότε προφανώς το τρένο κινείται με ακριβώς τετραπλάσια ταχύτητα.

Σε κάθε περίπτωση, κρίμα για τη γατούλα, που οριακά δεν προλαβαίνει να βγει και να κάνει στην άκρη!!

Papaveri είπε...

Σωστή και ωραία η προσέγγιση στη λύση του προβλήματος. Χάρη, είτε αριθμητική χρησιμοποιήσης είτε άλγεβρα, όπου αυτά μπορούν να συνδυαστούν, στο ίδιο αποτέλεσμα θα φτάσεις.

pantsik είπε...

Χάρη, πολύ έξυπνη η λύση σου και πολύ απλούστερη απ' τη δική μου.
Περιμένω να δω τις επιδόσεις σου και στο δικό μου blog.
Υ.Γ. τελικά η γατούλα τη γλυτώνει, γιατί ο κ. Papaveri ξέχασε να αναφέρει πως εντός του τούνελ υπάρχει εγκοπή για την τοποθέτηση τηλεφώνου εκτάκτου ανάγκης.

Papaveri είπε...

@pantsik
Εγώ πιστεύω ότι εάν ήμουν στη θέση της γάτας και αντιμετώπιζα αυτό το κίνδυνο επάνω στο πανικό μου θα κοίταζα πως να σωθώ και όχι να ψάχνω να βρω το τηλέφωνο, εκτός εάν το συναντούσα μποστά μου και είχα βέβαια το χρόνο να μπω στην εσοχή.

ΧΑΡΗΣ είπε...

Ευχαριστώ τον pantsik για τα σχόλια. Πιθανότατα στις προσεχείς μέρες θα μπορέσω να ασχοληθώ με γρίφους από το δικό του blog.

 

Papaveri48 © 2010

PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes