Μία χωρική πηγαίνει στην αγορά με δύο καλάθι γεμάτα αυγά, για να τα πουλήσει. Ο αριθμός αυτών των αυγών διαιρούμενος με τους αριθμούς:2,3,4,5 και 6 αφήνει πάντα ένα αυγό υπόλοιπο. Ενώ εάν αυτός ο αριθμός διαιρεθεί με το 7, δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο. Μπορείτε να βρείτε πόσα αυγά είχε η χωρική μέσα στο καλάθι της με τα κάτωθι δεδομένα;
α)Εάν είναι περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800. (Έχει δύο λύσεις.)
α)Εάν είναι περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800. (Έχει δύο λύσεις.)
β)Εάν είναι περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400. (Έχει μία λύση.)
(Κατ.5/Πρβλ. Νο.5)
Λύση
Α) Περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800.
Λύση Α΄
Είχε 721 αυγά. Από το τύπο, ν!=1*2*3*4*…*n, των μεταθέσεων έχουμε:
ν = Το πλήθος των όρων της σειράς.
ν! = Νι Παραγοντικό.
n =Οι φυσικοί αριθμοί:1,2,3,4……∞.
5! = 2*3*4*5*6=720+1*=721 αυγά.
* Αφορά το υπόλοιπο από την εκάστοτε διαίρεση με τους ανωτέρω αριθμούς.
Λύση Β΄
Ο αριθμός των αυγών πρέπει να είναι κατά μία μονάδα μεγαλύτερος από
έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς 2,3,4,5 και 6.
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι:
Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60 --> Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να
διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη
σειρά θα έχουμε:
60,120,180,240,300,360,420,480,540,600,660,720,780,840, κλπ.
Εάν προσθέσουμε στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως,
που είναι η μονάδα, δηλαδή,
61,121,181,241,301,361,421,481,541,601,661,721,781,841, θα δούμε
ότι οι μόνοι αριθμοί που πληρούν τη συνθήκη,δηλαδή να διαιρούνται
με το 7 χωρίς ν’ αφήνουν υπόλοιπο, είναι: ο 301 και ο 721.Ο πρώτος
αποκλείεται λόγω του ότι τ’ αυγά ήταν περισσότερα από 700, όπως
αναφέρεται στην εκφώνηση του προβλήματος. Άρα ο ζητούμενος αριθμός
είναι ο δεύτερος που πληρεί τους όρους της συνθήκης.
Β) Περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400.
Είχε 301 αυγά. Ο αριθμός των αυγών πρέπει να είναι κατά μία μονάδα
μεγαλύτερος από έναν αριθμό που έχει κοινούς διαιρέτες τους αριθμούς
2,3,4,5 και 6. Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι
το: Ε.Κ.Π.= 22*3*5 = 60 --> Ε.Κ.Π.= 4*3*5 = 60
Άρα ο ζητούμενος αριθμός πρέπει να είναι πολλαπλάσιος του 60 και να
διαιρείται από τον αριθμό 7. Αν πάρουμε τα πολλαπλάσια του 60 με τη
σειρά θα έχουμε: 60,120,180,240,300,360,420, κλπ. Εάν προσθέσουμε
στους ανωτέρω αριθμούς το υπόλοιπο της διαιρέσεως, που είναι η μονάδα,
δηλαδή, 61,121,181, 241,301,361, 421, θα δούμε ότι ο μόνος αριθμός που
πληρεί τη συνθήκη, βάσει της εκφωνήσεως του προβλήματος, δηλαδή να
διαιρείται με το 7 χωρίς ν’ αφήνει υπόλοιπο, είναι ο αριθμός 301.
Αναρτήσεις
7 σχόλια:
Έστω κ το πλήθος των αυγών.
Επειδή το κ διαιρούμενο με το 2 δίνει υπόλοιπο 1, συμπεραίνουμε ότι το κ-1 είναι πολαπλάσιο του 2.
με το ίδιο σκεπτικό είναι πολ/σιο του 3 και του 4 και του 5 και του 6.
Δηλαδή το κ-1 είναι πολ/σιο του ΕΚΠ(2,3,4,5,6)=60. Υπάρχει συνεπώς ακέραιος α ώστε κ-1=60α ή κ=60α+1.
α)Αν τα αυγά είναι περισσότερα από 700 και λιγότερα από 800 είναι:
700Αν α=12 τότε κ=60*12+1=721
Επειδή το 721 διαιρείται με το 7, η απάντηση στο ερώτημα "πόσα ήταν τα αυγά", είναι 721(και είναι αποδεκτή).
->Αν α=13 τότε κ=60*13+1=781
Επειδή το 781 δεν διαιρείται με το 7 (δίνει υπόλοιπο 4), η απάντηση στο ερώτημα "πόσα ήταν τα αυγά", δεν μπορεί να είναι 781.
β)Αν τα αυγά είναι περισσότερα από 200 και λιγότερα από 400 είναι:
200<κ<400 ή 200<60α+1<400 ή 199<60α<399 ή 3<α<7 και επειδή το α είναι ακέραιος προκύπτει α=4 ή α=5 ή α=6 και κ=241 ή κ=301 ή κ=361 αντίστοιχα.
Από αυτές είναι αποδεκτή (γιατί διαιρείται με 7) μόνο η τιμή κ=301 ενώ οι άλλες δύο απορρίπτονται(δεν διαιρούνται ακριβώς με το 7).
Σημείωση: Στα δεδομένα και στην πρώτη περίπτωση 700<κ<800 υπάρχει ένδειξη για δύο λύσεις. Μάλλον κάποιο λάθος υπάρχει ,ίσως στο εύρος του διαστήματος 700-800.
N. Lntzs
Θα ψάξω πρώτα τη β) περίπτωση(από 200 εώς 400)
Έστω χ ο αριθμός.Άρα έχουμε χ=7*κ
Επίσης χ+1=2*(α+1),χ+2=3*(β+1)
χ+3=4*(γ+1),χ+4=5*(δ+1),χ+5=6*(ε+1)
Άρα οι διαδοχικοί αριθμοί του 7 πρέπει να είναι πολ/σια του 2(ο επόμενος),3(ο μεθεπόμενος κ.ο.κ.),4,5,6 αντίστοιχα.
Αποκλείεται λοιπόν να βρισκόμαστε σε αριθμό από 200 εώς 299 και ο 400.Αφού δεν διαιρούνται ακριβώς με το 3.
Παρατηρώ ότι 43*7=301.Μου κάνει αφού βρίσκομαι σε 300(διαιρούνται και οι 2,3,4,5,6 αφου ΕΚΠ=60 αυτών των αριθμών).Επίσης ο χ+1=300+2=2*(150+1),χ+2=300+3=3*(100+1) κλπ και χ/7=43+0 οπότε αντίστοιχεί στο πολ/σιο που θέλουμε κάθε φορά...Άρα σαυτή την περίπτωση χ=301 αυγά
batman1986
To παραπάνω που σου λέω για το 301 προέκυψε μετά από διερεύνηση με πολ/σια του 7 στο επιτρεπόμενο διάστημα(από 200 εώς 400)...Επιβεβαίωσα ότι είναι όντως μοναδική η λύση
batman1986
Α ξέχασα να σου πω ότι βρήκα τη μία λυση στο α) ερώτημα.
Επειδή κινούμαστε στο διάστημα από 700 εώς 800 παρατήρησα ότι για 103*7=721(εντός διαστήματος)=420+301=(7*60)+301
Το 420 είναι κοινό πολ/σιο των 2,3,4,5,6 αφού είπαμε στο β) ερώτημα ότι το ΕΚΠ=60.Επίσης για το 301 ισχύει ότι έγραψα παραπάνω.Ικανοποιεί τις προυποθέσεις διαιρετότητας με 7(δεν αφήνει υπόλοιπο) όπως και οι οι επόμενοι 5 διαδοχικοί αριθμοί ως πολ/σια ανάλογα με την περίσταση των 2,3 κλπ.
Άρα μια λύση είναι 721 αυγά
batman1986
Συμφωνώ και με την παρατήρηση του φίλου.Βρίσκω μόνο μία τιμή στο α),την 721...
batman1986
@N. Lntzs
Συγχαρητήρια!! Η απάντησή σου είναι σωστή.
@batman1986
Συγχαρητήρια!! Η απάντησή σου είναι σωστή.
Δημοσίευση σχολίου