Ο αριθμός των ατόμων που χόρεψαν
σε μία χοροεσπερίδα με περιττό πλήθος ατόμων, είναι άρτιος ή περιττός αριθμός;
Διευκρίνιση:
Με επεξήγηση.
Διευκρίνιση:
Με επεξήγηση.
Πηγή: Λογισμικό "Σήμερα"
Papaveri48 © 2010
PSD to Blogger Templates by OOruc & PSDTheme by PSDThemes
Αναρτήσεις
8 σχόλια:
Έστω ότι με τη συνάρτηση Χ(ν) συμβολίζουμε το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν με ν άτομα.
Όταν το άτομο α χόρεψε με το άτομο β, ισχύει προφανώς και ότι το β χόρεψε με το α, επομένως ισχύει ότι ΣΧ(ν) είναι ζυγός αριθμός.
Δεδομένου ότι ΣΧ(2κ) είναι ζυγός αριθμός αφού Ζ*Ζ=Ζ, αλλά και Ζ*Μ=Ζ, θα ισχύει αναγκαστικά και ότι ΣΧ(2κ+1) είναι ζυγός αριθμός.
(ν, κ φυσικοί αριθμοί)
Έστω ότι με τη συνάρτηση Χ(ν) συμβολίζουμε το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν με ν άτομα, όπου α φυσικός αριθμός. Δεδομένου ότι όταν το άτομο α χόρεψε με το άτομο β, ισχύει προφανώς και ότι το β χόρεψε με το α, ισχύει ότι ΠΧ(ν) είναι ζυγός αριθμός. Δεδομένου ότι ΠΧ(2κ) είναι ζυγός αριθμός αφού Ζ*Ζ=Ζ, αλλά και Ζ*Μ =Ζ, θα ισχύει αναγκαστικά και ότι ΠΧ(2κ+1) είναι ζυγός αριθμός.
Άρα και ΣΧ(2κ+1) είναι ζυγός αριθμός.
(ν, κ φυσικοί αριθμοί)
Έστω ότι με τη συνάρτηση Χ(ν) συμβολίζουμε το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν με ν άτομα, όπου α φυσικός αριθμός. Δεδομένου ότι όταν το άτομο α χόρεψε με το άτομο β, ισχύει προφανώς και ότι το β χόρεψε με το α, ισχύει ότι ΣνΧ(ν) είναι ζυγός αριθμός. Δεδομένου ότι Σ2κΧ(2κ) είναι ζυγός αριθμός αφού Ζ*Ζ=Ζ, αλλά και Ζ*Μ =Ζ, θα ισχύει αναγκαστικά και ότι Σ(2κ+1)Χ(2κ+1) είναι ζυγός αριθμός. Άρα και ΣΧ(2κ+1) είναι ζυγός αριθμός.
(ν, κ φυσικοί αριθμοί)
Η απάντησή σας είναι σωστή ως ζυγός αριθμός, εάν συνυπολογίζονται και οι οικοδεσπότες.
Η εκφώνηση ζητάει "...εάν το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν με περιττό αριθμό ατόων είναι άρτιος ή περιττός."
Η πάντηση είναι περιττός αριθμός.
Βλέπε αναρτημένη λύση.
Η εκφώνηση του προβλήματος είναι πράγματι διφορούμενη, αλλά δεν είναι πολύ πιθανό να ζητείται απάντηση στο πρόβλημα όπως το ερμηνεύσατε εσείς. Νομίζω δηλαδή ότι δεν ζητά το πλήθος των ατόμων που χορέψανε σε μια χοροεσπερίδα με δεδομένο ότι στην χοροεσπερίδα υπάρχει μονός αριθμός καλεσμένων, αλλά το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν με μονό αριθμό από τα άτομα της χοροεσπερίδας. Άλλωστε, στη "λύση" σας θεωρείτε ότι έγινε μόνο ένας χορός μεταξύ των ατόμων και κάποιος περίσσεψε και δεν χόρεψε, αλλά θα μπορούσε κάλλιστα να έχει χορέψει κι αυτός σε έναν επόμενο χορό (αυτή είναι άλλωστε και η έννοια της χοροεσπερίδας) και δεν θα υπήρχε ξεκάθαρη απάντηση.
Η δική μου λύση, δεν είναι ίσως διατυπωμένη με τον καλύτερο τρόπο (ούτε καν στην τρίτη προσπάθεια), αλλά δίνει μόνο ένα αποτέλεσμα.
@ Ανώνυμος
Συμφωνώ απόλυτα μαζί σας, ότι η εκφώνηση εου προβλήματος είναι διφορούμενη, αλλά απ' ότι αντιλαμβάνομαι η απάντηση εστιάζεται στην έκφραση "...άρτιος ή περιττός...".
Οπότε εκλαμβάνω την απάντησή σας ως δεύτερη λύση. Τελικά έπρεπε να γράψω, διευκρινίζοντας, χωρίς τη συμμετοχή του οικοδεσπότη ή της οικοδέσποινας.
Δεν νομίζω ότι συμφωνούμε σε κάτι και δεν αντιλαμβάνομαι τι σχέση έχει ο οικοδεσπότης με το πρόβλημα. Αν το ερώτημα είναι για το parity του πλήθους όσων χόρεψαν όταν το πλήθος των χορευτών είναι μονός αριθμός, τότε δεν υπάρχει μοναδική απάντηση. Το πλήθος δηλαδή μπορεί να είναι και ζυγός και μονός αριθμός. Όταν ζητούμε το parity του πλήθους όσων χόρεψαν με μονό αριθμό ατόμων (που λογικά αυτό ακριβώς ζητάει το πρόβλημα), τότε η απάντηση είναι άρτιος. Δεν μπορεί να υπάρχει άλλη λύση για το πρόβλημα πέρα από αυτήν. Στη λύση που παρουσιάσατε κάνετε παραδοχές που δεν έχουν δοθεί στα δεδομένα. Όπως σας εξήγησα, κάλλιστα μπορούν να έχουν χορέψει συνολικά όλοι οι συμμετέχοντες (άρα ο αριθμός θα ήταν περιττός), αλλά και οποιοσδήποτε αριθμός τους (το πρόβλημα θα ήταν απροσδιόριστο).
Καλημέρα
Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό, έχει μπει σε Μαθηματικούς Διαγωνισμούς με αυτή την έκφραση ή παραπλήσια (πχ αντί για χορούς, χειραψίες κλπ) αρκετές φορές, ακόμη και σε Μαθηματική Ολυμπιάδα.
Ζητείται το πλήθος των ατόμων (αν είναι άρτιος η περιττός αριθμός) που χόρεψαν με περιττό αριθμό ατόμων δηλαδή το πλήθος των ατόμων που χόρεψαν 1, 3, 5, 9,... ή κάποιους από αυτούς τους περιττούς πάντα αριθμούς (χορών). Δεν μας ενδιαφέρουν τα άτομα που δεν χόρεψαν (0 χοροί, άρτιος αριθμός) ή χόρεψαν 2, 4, 6, ... ή κάποιους από αυτούς τους άρτιους αριθμούς.
Δεν έχει καμία σχέση (δεν εξαρτάται) από το εάν το πλήθος, Ν, των ατόμων που παρευρέθηκαν στην χοροεσπερίδα.είναι άρτιος ή περιττός αριθμός.
Η σωστή απάντηση είναι: To πλήθος των ατόμων που χόρεψαν με περιττό αριθμό ατόμων είναι πάντα άρτιος αριθμός [είτε το Ν (πλήθος ατόμων που ήταν στην χοροεσπερίδα) είναι άρτιος αριθμός είτε το Ν είναι περιττός αριθμός].
Δημοσίευση σχολίου